Bài số   4 :   CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM  Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ   -   Tháng   1   năm 201 2   Trang 1  CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM  *    phân bất định : ( ) I   f   x dx       .   Ta có ba phương pháp :  -   Phương pháp phân tích .  -   Phương pháp đổi biến số .  -   Phương pháp tích   phân từng phần  Do đó điều quan trọng là f(x) có dạng như thế nào để ta ngiên cứu có thể phân tích chúng sao cho có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm được nguyên hàm của chúng . Hoặc sử dụng hai phương pháp còn lại  -   Sau đây là một số gợi ý giúp các em có thể nhận biết dạng của f(x) mà có phương pháp phân tích cụ thể , từ đó tìm được nguyên hàm của chúng .  PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH  I.TRƢỜNG HỢP : f(x) LÀ MỘT HÀM ĐA THỨC 1 1   0 ( )   ..... n   n n   n f   x   a x   a   x   a                 A. CÁCH TÌM  1. Sử dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm số : f(x)= 1 1 ( )   . 1  x   F x   x   C                  2. Do đó nguyên hàm của f(x) là :       1   1 0 ..... 1  n   n n   n a   a F   x   x   x   a x   C n   n                         B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA .  Ví dụ 1 . Tìm nguyên hàm các hàm số sau  1. 3 4   3   2 1   4   2 4   x   x   x   x   dx                            2. 3   2 3  4   5 3   1   7 2  m mx   x   x   m   dx x   x                                 3.     3 2   log   2sin 2   3cos 4 x   x  me   a   x   x   x dx              4. 2   3   t anx+3x-2 x   dx x                     GIẢI  1. 5 3 4   3   2   5   4   2 3  1   1   4   3   1 4   2   .   2 4   20   3   5   2  x   x   x   x   dx   x   x   x   x   x   C                                             2.     3 3   2   4   3   2 3   2   2  4   5   2   4   5 3   1   7   1   7 2   4   3   2.   2.  m   m   m mx   x   x   m   dx   x   x   x   mx   C x   x   x   x                                                         3.           3  2   1   3 2   log   2sin 2   3cos 4   ln   os2x+   sin 4 ln   ln 3   4  x x   x   x   a me   a   x   x   x dx   me   x   x   x   c   x   C a                             4. 2 2   3   3 3   t anx+3x-2   4   ln   osx   2 ln 3   2  x x   dx   x   c   x   x   C x                                     Bài số   4 :   CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM  Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ   -   Tháng   1   năm 201 2 Trang 2  II. TRƢỜNG HỢP f(x)LÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ : fx)= ( ) ( )  P x Q x  * Trường hợp : Bậc của P(x) cao hơn hoặc bằng bậc của Q(x) , thì bằng phép chia đa thức ta lấy P(x) chia cho Q(x) được một đa thức A(x) và một số dư R(x) mà bậc của R(x) thấp hơn bậc của Q(x). Như vậy tích phân của A(x) ta tính được ngay ( như đã trình bày ở trên). Do vậy ta chỉ ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) trong trường hợp bậc tử thấp hơn bậc của mẫu , nghĩa là f(x) có dạng : ( ) ( )   ( )  R x f   x   Q x     .  Trước hết ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) có một số dạng đặc biệ t .  1. Hàm số f(x) có dạng :     2  1   0 ax  I   dx   a bx   c            * Ta phân tích : 2 2 2  ax   2   4  b bx   c   a   x   a   a                                              , mà ta đã biết ở lớp 10 .  * Xét ba trường hợp của    . Ta sẽ có ba dạng của f(x) và ta cũng có ba cách tìm nguyên hàm gợi ý sau   : -   Nếu :      2 2 2 2   2  ; 2   2 0   0ax   2   4  b u   x   k b   a   a bx   c   a   x   a   a   a u   k                                                                                -   Nếu : 2 2 2  0   2   4   2  b   b a   x   au   u   x a   a   a                                                                     -   Nếu :         2 1   2   1   2 2  0   ; 2   4   2   2  b   b   b a   x   a x   x   x   x   x   x a   a   a   a                                                                                                   Do vậy tích phân trên có thể giải như sau :  -   Trường hợp : 0    , thì 2   2   2  1   1   1   . ax  I   dx   du bx   c   a   u   k                  *   Nếu đặt :                   2 2   2 2   2   2   2 2   2   2   2   2   2   2  1 tan   1   tan   1   1   1   1 os   .   . 1   tan .   1   tan tan   1   tan  u   t   du   dt   t dt c   t   I   du   t dt a   u   k   a k   t u   k   k   t   k   k   t                                                            2   2  1 .  t dt   C a k   ak           . ( với : tan   arctanu u   t   t          ). -   Trường hợp :    =0 thì : 2   2  1   1   1   1 ax 2  I   dx   du   C b bx   c   u   u   x   a                                         . Hay : 2 2  1   1   1   1 ax 2 2  I   dx   dx   C b bx   c   a   b   a   x x   a a                                                      

Các phương pháp tìm Nguyên hàm – Nguyễn Đình Sỹ

Giáo viên: Nguy     Email: Loinguyen1310@gmail.com  DĐ: 01694 013 498  1  (M    PHÁP NH    H   G  :   www.toanmath.com  B    13.03.2011  Tải thêm tài liệu môn Toán THPT tại:  + Trang web:   www.toanmath.com  + Fanpage:   www.facebook.com/toanmath  + Groups:   https://www.facebook.com/groups/toanmathGiáo viên: Nguy     Email: Loinguyen1310@gmail.com  DĐ: 01694 013 498  2  GI   (M   I. TÍCH PHÂN HÀM H  U   TỶ  Bài t   Bài 1:   Tính tích phân sau:  3   3 2 0   1  x I   dx x        Gi   Cách 1:   Phương pháp b i  i s    t       2  tan   1   tan x   t   dx   t dt               3   3 0   0  t x x   t                          Khi đó             3   3   3   3 3   2   2 0   0   0   0  tan   tan   tan   1   1   tan   tan   1   tan I   tdt   t   t   dt   t   t   dt   tdt                                                 2 3   3 0   0  cos   tan   3 tan   tan   ln cos   ln 2 3 cos   2   2 0  d   t   t td   t   t t                                      Nh                 2   2  ,   , I   R u u   a   du u   u   x               thì ta có th    tan u   a   t   Cách 2:   Phương pháp t   ng ph  n   t        2 2 2  2 ln   1 1   2  du   xdx u   x x xdx dv   v x                                  Khi đó                          3   3 2   2   2   2   2 0   0  1   1 3 ln   1   ln   1   3ln 2   ln   1   1 2   2 0  J  I   x   x   x   x   dx   x   d   x                              Tính              3 2   2 0  ln   1   1 J   x   d   x                         2 2 2 2 2  1 ln   1 1 1   1  d   x u   x   du   x dv   d   x   v   x                                           

Giải toán tích phân bằng nhiều cách – Nguyễn Thành Long

  CHƯƠNG 3-GIẢI TÍCH 12  A.   MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT  Câu 1.   Cho hình phẳng   ( H )   giới hạn bởi các đường   y   =   cos   x ;   y   =   0 ;   x   =   0   và   x   =     2   . Thể tích vật thể tròn xoay có được khi   ( H )   quay quanh trục   Ox   bằng  A .    2  4   .   B .   2  .   C .     4   .   D .    2  2   .  Câu 2.   Cho hàm số   y   =   f   ( x )   liên tục trên đoạn   [ a ;   b ] . Diện tích   S   của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số   y   =   f   ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng   x   =   a ,   x   =   b ,   ( a   <   b )    thức  A .   S   =          b   a  f   ( x ) d x          .   B .   S   =  b   a  f   ( x ) d x .   C .   S   =     b   a  f   2 ( x ) d x .   D .   S   =  b   a  |   f   ( x ) |   d x .  Câu 3.   Cho hình phẳng   ( H )   giới hạn bởi các đường   y   =   2 x      x 2 ,   y   =   0 . Quay   ( H )   quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là  A .  2   0  ( 2 x      x 2 ) d x .   B .     2   0  ( 2 x      x 2 ) 2 d x .   C .  2   0  ( 2 x      x 2 ) 2 d x .   D .     2   0  ( 2 x      x 2 ) d x .  Câu 4.   Gọi   S   là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường   y   =   3 x ,   y   =   0 ,   x   =   0 ,   x   =   2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  A .   S   =     2 0  3 x   d x .   B .   S   =        2 0  3 2 x   d x .   C .   S   =        2 0  3 x   d x .   D .   S   =     2 0  3 2 x   d x .  Câu 5.   Gọi   ( D )   là hình phẳng giới hạn bởi các đường   y   =   x  4   ,   y   =   0 ,   x   =   1 ,   x   =   4 . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình   ( D )   quanh trục   Ox .  A .   15 16   .   B .   15   8   .   C .   21   16   .   D .   21 16   .  Câu 6.   Với hàm số   f   ( x )   tùy ý liên tục trên   R ,   a   <   b , diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số   y   =   f   ( x ) , trục hoành và các đường thẳng   x   =   a ,   x   =   b     A .   S   =  b   a  |   f   ( x ) |   d x .   B .   S   =     b   a  |   f   ( x ) |   d x .   C .   S   =          b   a  f   ( x )   d x          .   D .   S   =            b   a  f   ( x )   d x          .  Câu 7.  Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ dưới đây được xác định theo công thức  A .  2    1   2 x 2      2 x      4    d x .   B .  2    1   2 x 2   +   2 x      4    d x .  C .  2    1    2 x 2   +   2 x   +   4    d x .   D .  2    1    2 x 2      2 x   +   4    d x .   x  y  O  1   2  y   =   x 2      2 x      1  y   =    x 2   +   3  Câu 8.   Tìm nguyên hàm của hàm số   y   =   x 2      3 x   +   1  x     GeoGebraPro   Trang 1https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/  A .   x 3  3      3 x 2  2      ln   | x |   +   C .   B .   x 3  3      3 x 2  2   +   1  x 2   +   C .  C .   x 3  3      3 x 2  2      ln   x   +   C .   D .   x 3  3      3 x 2  2   +   ln   | x |   +   C .  Câu 9.   Cho hàm số   y   =   f   ( x )   liên tục trên   [ a ;   b ] ,   a   <   b .   Diện tích hình phẳng   ( H )   giới hạn bởi đồ thị hàm số   f   ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng   x   =   a ;   x   =   b     A .   S   =     b   a  [   f   ( x )] 2   d x .   B .   S   =  b   a  f   ( x )   d x .  C .   S   =     b   a  |   f   ( x ) |   d x .   D .   S   =  b   a  |   f   ( x ) |   d x .  Câu 10.   Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   y   =   f   ( x )   liên tục trên đoạn   [ a ;   b ] , trục hoành và hai    x   =   a ,   x   =   b ,   ( a   6   b )   có diện tích   S   là  A .   S   =  b   a  f   ( x ) dx .   B .   S   =          b   a  f   ( x )   d x          .   C .   S   =     b   a  f   2 ( x )   d x .   D .   S   =  b   a  |   f   ( x ) |   d x .  Câu 11.   Nếu hàm số   y   =   f   ( x )   liên tục trên đoạn   [ a ;   b ]   thì diện tích   S   của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   y   =   f   ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng   x   =   a ,   x   =   b   là  A .  a   b  |   f   ( x ) |   d x .   B .  b   a  |   f   ( x )      g ( x ) |   d x .   C .  b   a  |   f   ( x ) |   d x .   D .  b   a  f   ( x )   d x .  Câu 12.   Công thức tính diện tích   S   của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số   y   =   f   ( x ) ,   y   =   g ( x )  liên tục trên đoạn   [ a ;   b ]   và hai đường thẳng   x   =   a ,   x   =   b   với   a   <   b   là  A .   S   =  b   a  |   f   ( x )      g ( x ) |   d x .   B .   S   =  b   a  (   f   ( x )      g ( x ))   d x .  C .   S   =  b   a  (   f   ( x )      g ( x )) 2   d x .   D .   S   =     b   a  |   f   ( x )      g ( x ) |   d x .  Câu 13.   Viết công thức tính thể tích   V   của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục   Ox   tại các điểm   x   =   a ,   x   =   b   ( a   <   b ), có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục   Ox   tại điểm có hoành độ   x   ( a      x      b ) là   S ( x ) .  A .   V   =  a   b  S ( x )   d x .   B .   V   =     b   a  S ( x )   d x .   C .   V   =     b   a  S 2 ( x )   d x .   D .   V   =  b   a  S ( x )   d x .  Câu 14.   Cho hàm số   y   =   f   ( x ) ,   y   =   g ( x )   liên tục trên   [ a ;   b ] . Gọi   ( H )   là hình phẳng giới hạn bởi hai    y   =   f   ( x ) ,   y   =   g ( x )   và các đường thẳng   x   =   a ,   x   =   b . Diện tích hình   ( H )    thức  A .   S H   =  b   a  |   f   ( x ) |   d x     b   a  | g ( x ) |   d x .   B .   S H   =  b   a  |   f   ( x )      g ( x ) |   d x .  C .   S H   =          b   a  [   f   ( x )      g ( x )]   d x          .   D .   S H   =  b   a  [   f   ( x )      g ( x )]   d x .  Câu 15.   Cho hình phẳng   D   giới hạn bởi đường cong   y   =   e x , trục hoành và các đường thẳng   x   =  0,   x   =   1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay   D   quanh trục hoành có thể tích   V   bằng bao nhiêu?  A .   V   =   e 2      1 2   .   B .   V   =      ( e 2   +   1 )  2   .   C .   V   =      ( e 2      1 )  2   .   D .   V   =    e 2  2   .     GeoGebraPro   Trang 2

Ứng dụng của tích phân trong hình học

TÍCH PHÂN  I. Khái niệm tích phân  1. Diện tích hình thang cong .     Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong     Từ đó suy ra công thức :   (   )   (   )   (   )  0 0 0 0 lim  x   x S   x   S   x   f   x x   x     =   2. Định nghĩa tích phân     Cho hàm f liên túc trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số : F(b) - F(a) được gọi là tích phân của f đi từ a đến b , ký hiệu là :   ( )  b a f   x dx      Có nghĩa là :   (   )   (   ) ( )  b a f   x dx   F b   F   a =         Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) và   (   )   (   )   (   )  b F   x   F b   F   a a   =      thì :  (   )   (   )   (   ) ( )  b a b f   x dx   F   x   F b   F   a a  =   =         Trong đó :  -   a : là cận trên , b là cận dưới  -   f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân  -   dx : gọi là vi phân của đối số  - f(x)dx : Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân  II. Tính chất của tích   phân  Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K , a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta  có : 1.   ( )   0  a a f   x dx   =  2.   ( )   ( )  b   a a   b f   x dx   f   x dx = −       . ( Gọi là tích chất đổi cận )  3.   ( )   ( )   ( )  b   c   b a   a   c f   x dx   f   x dx   f   x dx =   +        4.   [   ] ( )   ( )   ( )   ( )  b   b   b a   a   a f   x   g x   dx   f   x dx   g x dx    =             . ( Tích phân c  phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân ) .  5.   ( )   .   ( )  b   b a   a kf   x dx   k   f   x dx =       . ( Hằng số k trong dấu tích phân , có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được )  Ngoài 5 tính chất trên , người ta còn chứng minh được một số tính chất khác như :  6 . Nếu f(x)   [   ] 0   ; x   a b       thì :   [   ] ( )   0   ;  b a f   x dx   x   a b       7. Nếu :   [   ] ;   :   ( )   ( )   ( )   ( )  b   b a   a x   a b   f   x   g x   f   x dx   g x dx                 . ( Bất đẳng thức trong tích  phân )8. Nếu :   [   ] ; x   a b    và với hai số M,N ta luôn có :   ( ) M   f   x   N       . Thì :  (   )   (   ) ( )  b a M   b   a   f   x dx   N b   a              . ( Tính chất giá trị trung bình của tích phân )  III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp này , chúng ta cẩn :     Kỹ năng : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương của nhiều  hà m số khác , mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm nguyên hàm của chúng .     Kiến thức : Như đã trình bày trong phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc các kiến thức về Vi phân , các công thức về phép toán lũy thừa , phép toán căn bậc n của một số và biểu diễn chúng dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ .  2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1 : Tính các tích phân sau a/   (   ) 4 2 2 1 2   1   1 1  x   x dx x     + +    b/   (   ) 1   2 3 0   1  x   dx x   +  c/   (   )  (   ) 3 1 2   2   ln 1 2   1  x   x   x   x   dx x   x     +   + +    d/   2   3   2 4   2 2 1 2   1  x   x   x   dx x   x  +      +    +   Giả i  a/   (   ) 4 2   2   2 2   2 2 2   2   2   2 1   1   1 2   1   1   2   1   1   2   1 1   1   1   1  x   x   x   x   x   x   x dx   dx   x   x   dx x   x   x   x     +                + =   +   =      +               +   +   +   +                 (   )   (   )   (   ) 2   2   2 2   2   2   2   2 1   1 2   2 1   3 1   1   1   1   1   5   2 1   1 2   2  x   d   x   d   x   x   x          +   +   =      +   +   =   +        b/  (   )  (   ) (   )  (   ) (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) 2   2 1   1   1   1 2 3   3   3   3   3   2   3 0   0   0   0 1   1   1   1   1   1   1   1 2   2 1 1   1   1   1   1   1   1  x   x x   x dx   dx   dx   dx x x   x   x   x   x   x   x            +      +   + =   =      +   =      +           + +   +   +   +   +   +   +                                (   )   (   ) (   )  (   ) (   )   (   ) 1   1   1 2   3   2 0   0   0 1   1   1 1   1   1   1   1   1   3 2   ln   1   2   ln 2 0   0   0 1   1   2   8 1   1   1  d   x   d   x   d   x I   x x   x x   x   x  +   +   +    =      +   =   +   +      =   + +   + +   +   +        c/  (   )  (   )   (   )  (   )  (   )   (   )   (   )  (   ) 3   3   3 1   1   1 2   2   ln 1   ln 1   ln 1 1   1   1 2 2   1   1   1   1   2  x   x   x   x   x   x x dx   dx   x   dx x x   x   x   x   x   x               +   +   +   +            =   +   =      +           +   +   +   +                   (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) 3   3   3   2 1   1 ln 1   3   3 2 1   1   ln   1 1   1 3 1  x I   x   dx   d   x   x   x   x x  +          =      +   +   =      +   +   =     +            (   ) 2   2 2   3   4   ln   1   3   ln 2 =      +   +    d/   (   )  (   )   (   ) 3 2   2   2   2 3   2 2 4   2   4   2   2   2 2   2   2   2 4 1   1   1   2 2   1   4   2   1   1   1  x   x dx x   x   x   dx dx   dx x   x   x   x   x   x       +      +       =   +   +    +      +                        

Phân dạng các bài toán tích phân – Phạm Minh Tứ

Luy  n thi t  t nghi  p THPT   TP.Tuy Hòa - 01698160150  1   |   Facebook: Ng  c Tính Ph  m  Câu 1:   F(x) là m  t nguyên hàm c  a hàm s  3  2 x y   x      . N  u F( - 1)=3 thì 3  2 x x       dx b  ng:  A. 2  1   1   3  x   x        B. 2  1   1   3  x   x        C. 2  1   1   1  x   x           D. 2  1   1   1  x   x          Câu 2:   Hãy ch  n k  t lu  n sai:  A.   d(...)=2xdx ch    tr  ng là 2  x   C   B.   d(...)= 3  x   dx thì ch    tr  ng là 4  x   C   C.   d(...)=cosxdx thì ch    tr  ng b  ng sinx+C  D.   d(...)=(1+tan 2 x)dx thì ch    tr  ng là tanx+C  Câu3:   F(x) là m  t nguyên hàm c  a hàm s  2  1  x x   e y   e   x                      . N  u F(1)=e thì 2  . 1  x x   e e   dx x                    b  ng:  A. 1   1 x  e   x       B. 1   1 x  e   x       C. 1 x  e   e x       D. 1 x  e   e x       Câu   4:   F(x)   là   m  t   nguyên   hàm   c  a   hàm   s  2   2  cos2x cos   .sin  y   x   x     .   N  u 0 4  F                 thì 2   2  cos2x cos   .sin   dx x   x   b  ng:  A. tanx+cotx+2  B. tanx+cotx-2  C. -tanx-cotx+2  D. -tanx-cotx-2Luy  n thi t  t nghi  p THPT   TP.Tuy Hòa - 01698160150  2   |   Facebook: Ng  c Tính Ph  m  Câu 5:   F(x) là m  t nguyên hàm c  a hàm s       2 2 3  1 x y   x      . N  u F(1)=   - 4 thì      2 2 3  1 x   dx x      b  ng:  A. 2 2  2 2ln   4 2  x   x   x          B. 2 2  1 2ln   4 2   2  x   x   x          C. 2 2  2 2 ln   4 2  x   x   x          D. 2 2  1 2ln   4 2   2  x   x   x          Câu 6:   F(x) là m  t nguyên hàm c  a hàm s  2  sin   os 2   2  x   x y   c                    . N  u 2   4  F                    thì 2  sin   os 2   2  x   x c   dx                  b  ng:  A. osx+ 2  x   c     B. osx- 2  x   c     C. osx+ 4  x   c     D. osx- 4  x   c     Câu   7:   F(x)   là   m  t   nguyên   hàm   c  a   hàm   s  2 2  3   2cot cos  x y   x      .   N  u 10 4  F                 thì 2 2  3   2 cot cos  xdx x      b  ng:  A. 3tan   2cot   5 x   x      B. 3tan   2cot   5 x   x      C. 3tan   2cot   5 x   x      D. 3tan   2cot   5 x   x      Câu 8:   F(x) là m  t nguyên hàm c  a hàm s  3   1 x  y   e         . Bi  t r  ng   8  2 3   3  F   e     thì 3   1 x  e   dx        b  ng:

50 bài trắc nghiệm tích phân cơ bản thường gặp – Phạm Ngọc Tính

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

450 bài tập trắc nghiệm và tự luận Tích phân – Thanh Vân, Minh Quang

CHUYÊN    :”CÁC PH  NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”   GV: NGUY  N DUY KHÔI  Tr  ng THPT Nam Hà – Biên Hòa –    ng Nai   Trang 1  L  I NÓI    U  Ngày nay phép tính vi tích phân chi  m m  t v    trí h  t s  c quan tr  ng trong Toán h  c, tích phân    c    ng d  ng r  ng rãi nh       tính di  n tích hình ph  ng, th    tích kh  i tròn xoay, nó còn là    i t  ng nghiên c  u c  a gi  i tích, là n  n t  ng cho lý thuy  t hàm, lý thuy  t ph  ng trình vi phân, ph  ng trình    o hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn    c   ng d  ng r  ng rãi trong Xác su  t, Th  ng kê, V  t lý, C    h  c, Thiên v  n h  c, y h  c... Phép tính tích phân    c b  t    u gi  i thi  u cho các em h  c sinh      l  p 12, ti  p theo   c ph    bi  n trong t  t c    các tr  ng    i h  c cho kh  i sinh viên n  m th    nh  t và n  m th   hai trong ch  ng trình h  c    i c  ng. H  n n  a trong các k    thi T  t nghi  p THPT và k   thi Tuy  n sinh    i h  c phép tính tích phân h  u nh    luôn có trong các      thi môn Toán c  a kh  i A, kh  i B và c    kh  i D. Bên c  nh      ng là m  t trong nh  ng n  i dung      thi tuy  n sinh    u vào h    Th  c s    và nghiên c  u sinh. V  i t  m quan tr  ng c  a phép tính tích phân, chính vì th    mà tôi vi  t m  t s    kinh nghi  m gi  ng d  y tính tích phân c  a kh  i 12 v  i chuyên       B  NG PH  NG PHÁP PHÂN TÍCH -    I BI  N S    VÀ T  NG PH  N”     ph  n nào c  ng c  , nâng cao cho các em h  c sinh kh  i 12      các em    t k  t qu    cao trong k    thi T  t nghi  p THPT và k    thi Tuy  n sinh    i h  c và giúp cho các em có n  n t  ng trong nh  ng n  m h  c    i c  ng c  a    i h  c. Trong ph  n n  i dung chuyên      d  i        c nêu ra m  t s    bài t  p minh h  a c    b  n tính tích phân ch    y  u áp d  ng ph  ng pháp phân tích, ph  ng pháp    i bi  n s  , ph  ng pháp tích phân t  ng ph  n. Các bài t  p      ngh    là các      thi T  t nghi  p THPT và     thi tuy  n sinh    i h  c Cao    ng c  a các n  m      các em h  c sinh rèn luy  n k    n  ng tính tích phân và ph  n cu  i c  a chuyên      là m  t s    câu h  i tr  c nghi  m tích phân. Tuy nhiên v  i kinh nghi  m còn h  n ch    nên dù có nhi  u c    g  ng nh  ng khi trình bày chuyên      này s    không tránh kh  i nh  ng thi  u sót, r  t mong    c s    góp ý chân tình c  a quý Th  y Cô trong H  i    ng b    môn Toán S    Giáo d  c và      o t  nh    ng Nai. Nhân d  p này tôi xin c  m    n Ban lãnh    o nhà tr  ng t  o    i  u ki  n t  t cho tôi và c  m    n quý th  y cô trong t    Toán tr  ng Nam Hà, các    ng nghi  p, b  n bè          n cho tôi hoàn thành chuyên      này. Tôi xin chân thành cám    n./.CHUYÊN    :”CÁC PH  NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”   GV: NGUY  N DUY KHÔI  Tr  ng THPT Nam Hà – Biên Hòa –    ng Nai   Trang 2  M  C L  C  L  i nói    u   1 M  c l  c   2 I.   Nguyên hàm: I.1.    nh ngh  a nguyên hàm   3 I.2.    nh lý   3 I.3.   Các tính ch  t c  a nguyên hàm   3 I.4.   B  ng công th  c nguyên hàm và m  t s    công th  c b    sung   4 II.   Tích phân: II.1.    nh ngh  a tích phân xác    nh   5 II.2.   Các tính ch  t c  a tích phân   5  II.3   Tính tích phân b  ng ph  ng pháp phân tích   5 Bài t  p      ngh    1   9 II.4   Tính tích phân b  ng ph  ng pháp    i bi  n s    10 II.4.1 Ph  ng pháp    i bi  n s    lo  i 1   10   nh lý v    ph  ng pháp    i bi  n s    lo  i 1   13 M  t s    d  ng khác dùng ph  ng pháp    i bi  n s    lo  i 1   14 Bài t  p      ngh    s    2   14 Bài t  p      ngh    s    3   15 Bài t  p      ngh    s    4: Các      thi tuy  n sinh    i h  c Cao    ng   16 II.4.2 Ph  ng pháp    i bi  n s    lo  i 2   16 Bài t  p      ngh    s    5   21 Các      thi T  t nghi  p trung h  c ph    thông   22 Các      thi tuy  n sinh    i h  c Cao    ng   22  II.5.   Ph  ng pháp tích phân t  ng ph  n   23  Bài t  p      ngh    s    6: Các      thi tuy  n sinh    i h  c Cao    ng   28 III.   Ki  m tra k  t qu    c  a m  t bài gi  i tính tích phân b  ng máy tính CASIO fx570-MS   29 Bài t  p      ngh    s    7: Các câu h  i tr  c nghi  m tích phân   30 Ph    l  c   36

Chuyên đề các phương pháp tính tích phân – Nguyễn Duy Khôi

TÌM ĐỌ C SÁCH TR  C N GHI  M LUY  N THI THPT QU  C GIA 2017 TH  Y DIÊU TRÊN MEGABOOK.VN  1   L  P TOÁN 10, 11, 12 TH  Y DIÊU T  I 53T DƯƠNG BÁ TR  C F1 QU  N 8 TPHCM      CALL 01237.655.922  BÀI T  P NGUYÊN HÀM  Sưu Tầ m Và Biên So  n Th  y Tr  n Công Diêu  Chú ý:   các bài t  p trong tài li  m t    nhi  u ngu  n.  Bài 1.   Tìm nguyên hàm c  a hàm s     1   . 2   1  f   x   x       A.    2   1   . f   x dx   x   C           B.    2   2   1   . f   x dx   x   C          C.    1   2   1   . 2  f   x dx   x   C           D.    1   . 2   1  f   x dx   C x          Bài 2.   Tìm hàm s   , F x   bi  t r  ng               2   2  2   1 '   . 2   1   1  F   x x   x           A.    1   1   . 2   1   1  F x   C x   x               B.    1   1   . 1   2   1  F x   C x   x              C.    1   2   . 1   2   1  F x   C x   x               D.    1   . 1   2   1  C F x   x   x           Bài 3.   Tìm các hàm s   , f   x   bi  t r  ng        2  cos '   . 2   sin  x f   x x     A.        2  sin   . 2   cos  x f   x   C x         B.    sin   . 2   sin  x f   x   C x        C.    1   . 2   sin  f   x   C x          D.    1   . 2   cos  f   x   C x      TÌM ĐỌ C SÁCH TR  C N GHI  M LUY  N THI THPT QU  C GIA 2017 TH  Y DIÊU TRÊN MEGABOOK.VN  2   L  P TOÁN 10, 11, 12 TH  Y DIÊU T  I 53T DƯƠNG BÁ TR  C F1 QU  N 8 TPHCM      CALL 01237.655.922  Bài 4.   Tìm các hàm s   , F x   th  u ki  n    1 '   . F   x   x   x       A.    2  1 1   . F x   C x           B.    2  ln   . 2  x F x   x      C.    2  ln   . 2  x F x   x   C          D.    2  ln   . 2  x F x   x   C         Bài 5.   Tìm nguyên hàm c  a hàm s     2017 . x  f   x     A.    2017   . ln 2017  x  f   x dx   C        B.    2017   . x  f   x dx   C       C.    1 1   2017   . 1  x  f   x dx   C x            D.    2017 ln 2017   . x  f   x dx   C       Bài 6.   Tìm nguyên hàm c  a hàm s     . e  f   x   x   A.    . ln  e  x f   x dx   C x         B.    1  . 1  e  x f   x dx   C e           C.    1  .   . e  f   x dx   e x   C          D.    . e  f   x dx   x   C       Bài 7.   Hàm s    nào sau đâ y không ph  i là nguyên hàm c  a hàm s          2 2  2 1  x   x f   x x       ? A.    2   1 . 1  x   x F x   x            B.    2   1 . 1  x   x F x   x           C.    2   1 . 1  x F x   x         D.    2   3   3 . 1  x   x F x   x           Bài 8.   Tìm nguyên hàm  F x   c  a hàm s     2  1 sin  f   x   x     bi  t . 2   2  F                              A.    . F x   x    B.    sin   1. 2  F x   x           

109 bài toán trắc nghiệm nguyên hàm – Trần Công Diêu

NGUYÊN HÀM      TÍCH PH          0902 .920.389  Chuyên đ      NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN CƠ B  N      Câu 1:   Trong các m  nh đ    sau, có bao nhiêu m  nh đ    sai :  (1)               ' f   x dx   f   x     (2)             , af   x dx   a   f   x dx   a          (3)                       f   x   g x   dx   f   x dx   g x dx                           (4)                       f   x g x dx   f   x dx   g x dx          A.   1   B.   2   C.   3   D.   4  Câu 2:   Trong các m  nh đ    sau, có bao nhiêu m  nh đ    sai :  (1)           ' F   x dx   F x   C        (2)                       f   x dx   g x dx   f   x   g x             (3)                       '   ' f   x   g   x   f   x   g x         (4)     F   x   là m  t nguyên hàm c  a                 f   x   f   x dx   F x   C          A.   1   B.   2   C.   3   D.   4  Câu 3:   Tìm m  nh đ    sai   trong các m  nh đ    sau:  A.   N  u     f   x   liên t  c trên     ; a b   thì     f   x   có nguyên hàm trên     ; a b   .  B.   N  u     f   x   và     g   x   có nguyên hàm trên     ; a b   thì           . f   x   g x   có nguyên hàm trên     ; a b   .  C.   N  u     f   x   và     g   x   có nguyên hàm trên     ; a b   thì          f   x g   x   có nguyên hàm trên     ; a b   .  D.   N  u     f   x   có nguyên hàm trên     ; a b   thì     2  f   x   có nguyên hàm trên     ; a b   .  Câu 4:   Tìm m  nh đ    sai   tron g các m  nh đ    sau:  A. 1   ln dx   x   C x          B.     2   2 x   x  e dx   e   C        C. sin   cos xdx   C   x        D. 4 3  4  x   C x dx       Câu 5:   Tìm m  nh đ    sai   trong các m  nh đ    sau:  A. 2  tan   tan xdx   x   x   C           B. 2  cot   cot xdx   x   x   C          C. 2  1   1  dx   C x   x            D. 2 2   ln dx   x   C x         Câu 6:   H    nguyên hàm c  a     2  2   1 x   dx     b  ng:  A.     3  2   1 2  x   C       B.     3  2   1 3  x   C       C. 3   2 4   2 3   x   x   x   C          D.     Câu 7:   H    nguyên hàm c  a 3   2 2  2   5 x   x   dx x          b  ng:  A. 2   5  x   x   C x           B. 5 2 x   C x           C. 2   5 2 x   x   C x           D. 2   5 2 2  x   x   C x          Câu 8:   H    nguyên hàm c  a 2  2sin   2  xdx    b  ng:  A. sin x   x   C       B. sin x   x   C       C. sin   x   C    D. sin 2 x   C   Câu 9:   H    nguyên hàm c  a 1 1   cos 2   dx x     b  ng:  A. tan 2 2  x   C    B. tan 2  x   C    C. 2  1 2sin   C x      D. sin 2cos  x   C x    Câu 1 0:   Tìm   nguyên hàm     F   x   c  a hàm s        3  1   1  f   x   x   x        bi  t r  ng  1   1 F      .  A. 3   2 3   1 2   2   2  x   x       B. 3   2   1 2   2  x   x          C. 3   2 3   1 2   2   2  x   x       D. 3   2   1 2   2  x   x      NGUYÊN HÀM      TÍCH PH NGUYÊN HÀM      TÍCH PH          0902 .920.389  Câu 11:   H    ng uyên hàm c  a hàm s        cos 2 sin   cos  x f   x   x   x        b  ng:  A. sin   cos x   x    B. sin   cos x   x    C. 2sin   1 x      D. sin 2 x  Câu 12:   Tích phân      1 4 0  1 x   dx     b  ng?  A. 2 5   B. 4 5   C. 6 5   D. 8 5  Câu 13:   Tích phân 8 3 1  xdx    b  ng?  A. 45 4   B. 47 4   C. 25 4   D. 2  Câu 14:   Tích phân 4 1  xdx    b  ng?  A. 14 3   B. 16 3   C. 7 3   D. 5 3  Câu 15:   Trong các m  nh đ    sau , có bao nhiêu m  nh đ     :  (1)   Ta luôn có:       0  b a  f   x dx       (2)   Ta luôn có:            b   b a   a  f   x dx   f   x dx       (3)   N  u       0 f   x      trên     ; a b   và       0  b a  f   x dx       thì       0 f   x      trên     ; a b   .  A. 0   B. 1   C. 2   D. 3  Câu 16:   Mi  n di  n tích      trong hình v    bên đư  c gi  i  h  n b  i các đư  ng cong nào dư  i đây, và di  n tích c  a  mi  n đó là bao nhiêu?  A. 2   4 2 ,   ,   2,   3,   3  y   x   x Ox x   x   S                .  B. 2   2 2 ,   ,   2,   3,   3  y   x   x Ox x   x   S                .  C. 2   34 2 ,   ,   2,   3,   3  y   x   x Ox x   x   S                .  D. 2   50 2 ,   ,   1,   3,   3  y   x   x Ox x   x   S                .  Câu 17:   Mi  n di  n tích      trong hình v    bên đư  c gi  i  h  n b  i các đư  ng cong nào dư  i đây, và di  n tích c  a  mi  n đó là bao nhiêu?  A. 3   3 ,   ,   16 y   x   x y   x S             .  B. 3   3 ,   ,   4 y   x   x y   x S             .  C. 3   3 ,   2 ,   12 y   x   x y   x S             .  D. 3   3 ,   ,   8 y   x   x y   x S             .

55 câu trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đoàn Trí Dũng

CHUYÊN ĐỀ   LUY  N THI THPT QU  C GIA 2016 - 2017  O  y  x b a  (   ) y   f x =    A. LÝ THUYẾT  I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :     Cho hàm số   (   ) y   f x =   li    a; b           .  Khi đó diện tích   S   của hình thang cong giới  hạn bởi đồ thị hàm số   (   ) y   f x =   , trục hoành và   hai      thẳng:   x   a, x   b =   =   là:  (   )  b a S   f x dx =      .  Bài toán 1:   Cho hàm số   (   ) y   f x =   liên tục trên   a; b           . Khi đó diện tích   S   của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số   (   ) y   f x =   ; trục   Ox   : (   y   0 =   ) và hai đường thẳng   x   a; x   b =   =   là:  (   )  b a S   f x   dx =      .  Bài toán 2 .  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ  thị:   (   )   (   ) 1 C   : y   f x =   ,   (   )   (   ) 2 C   : y   g x =   và   hai     x   a, x   b =   =   .       (   )   (   )  b a S   f x   g x dx =       .  Chú ý:  1 ) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:  * Giải phương trình:   (   )   (   ) f x   g x =   tìm nghiệm   (   ) 1   2   n x , x ,..., x   a; b   (   ) 1   2   n x   x   ...   x <   <   <   . Tính:   (   )   (   )   (   )   (   )   (   )   (   )  x   x   b 1   2 a   x   x 1   n S   f x   g x   dx   f x   g x   dx   ...   f x   g x   dx =      +      +   +            (   )   (   ) (   )   (   )   (   ) (   )  x   b 1 a   xn f x   g x   dx   ...   f x   g x   dx =      +   +          .  Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.  2 ) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị  (   )   (   ) 1 C   : y   f x =   ,   (   )   (   ) 2 C   : y   g x =   . Khi đó, ta có công thức tính như sau:   (   )   (   )  xn x1 S   f x   g x   dx =       .  Trong đó:   1   n x , x   tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình:   (   )   (   ) f x   g x =   .  II. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOA Y  a. Tính thể tích của vật thể     Cắt một vật thể C bởi   hai mặt phẳng   (   ) P   và   (   ) Q   vuông góc với trục   Ox   lần lượt tại  (   ) x   a, x   b   a   b =   =   <   . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với   Ox   tại điểm   (   ) x   a   x   b       cắt C theo một  y  O   a   b  (   ) y   f x =  (   ) y   g x =CHUYÊN ĐỀ   LUY  N THI THPT QU  C GIA 2016 - 2017  thiết diện có diện tích   (   ) S x   . Giả sử   (   ) S x   là hàm liên tục trên   a; b           . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi   hai mp   (   ) P   và   (   ) Q      (   )  b a V   S x dx =      .  b. Tính thể tích vậy tròn xoay  Bài toán 1.   Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền   D     (   ) y   f x ; y   0; x   a; x   b =   =   =   =   quanh trục   Ox  Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với   Ox   tại điểm có hoành độ bằng  x   là một hình tròn có bán kính   (   ) R   f x =   nên diện tích thiết diện bằng  (   )   (   ) 2   2 S x   R   f   x = π   = π   . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:  (   )   (   )  b   b   2 a   a V   S x dx   f   x dx =   = π       .  Chú ý:  Nếu   hình   phẳng   D      giới   hạn   bởi   các      (   )   (   ) y   f x , y   g x , =   =   x   a, x   b =   =   (Với  (   )   (   ) f x .g x   0   x   a; b                 ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay   D   quanh trục   Ox    bởi công thức:  (   )   (   )  b   2   2 a V   f   x   g   x   dx = π       .  Bài toán 2.   Tính t hể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng   D   giới hạn bởi các đường  (   ) x   g y , y   a, y   b, Oy =   =   =   quanh trục   Oy      (   )  b   2 a V   g   y dy = π      .  Chú ý:   Trong trường hợp ta không tìm     cách sau.  Chứng minh hàm số   y   f(x) =   liên tục và đơn điệu trên   [c; d]   với  {   }   {   } c   min g(a),g(b) ,d   max g(a),g(b) =   =   . Khi đó phương trình   y   f(x) =   có duy nhất nghiệm  x   g(y) =   .  Thực hiện phép đổi biến   x   g(y),dy   f '(x)dx =   =   ta có:   d   2 c V   x f '(x)dx = π      .  B.   PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.  I.   DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG  Dạng 1:   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường         y   f(x), x   a, x   b   và tr   Phương pháp  Bước 1.   Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].  (   ) y   f x =  a   b  y  x O

Hướng dẫn giải và bài tập ứng dụng của tích phân – Phạm Văn Huy

ThS. Nguyeãn Vaên Rin   Trang 1/27 – Mã đề thi 222 TT LTĐH 30 TRẦN THÚC NHẪN – HUẾ   CHƯƠNG III.  ThS. Nguyeãn Vaên Rin   NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  Sñt: 089.8228.222   Sưu tầm & chọn lọc  Họ và tên:   ...............................................................;   Số báo danh:   ...................................... MÃ ĐỀ THI 222  A. NGUYÊN HÀM  Câu 1.   (QUỐC HỌC – HUẾ 2017)   Cho       F x   là một nguyên hàm của hàm số      2 cos  x  f   x   x    thỏa mãn       0   0 F      . Tính       F      . A.         1 F         .   B.         1  2  F         .   C.         0 F         .   D.         1 F         .  Câu 2.   (QUỐC HỌC – HUẾ 2017)   Hàm số       F x   nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số     3 ln   x  f   x   x     . A.      4 2 ln 2  x  F x   x     .   B.      4 ln 4  x   x  F x      . C.          4 ln   1 4  x F x        .   D.      4 ln   1 4  x  F x        .  Câu 3.   (QUỐC HỌC – HUẾ 2017)   Biết   , m n         thỏa mãn            5   3   2 3   2  n dx   m   x   C x              . Tìm   m   . A.   1  4  m      .   B.   1  8  m      .   C.   1  8  m      .   D.   1  4  m      .  Câu 4.   (QUỐC HỌC – HUẾ 2017)   Cho       F x   là một nguyên hàm của hàm số      1  1 x f   x   e       thỏa mãn       0   ln 2 F      . Tìm tập nghiệm   S của phương trình             ln   1   3 x F x   e          . A.       3 S         .   B.       3 S      .   C.   S      D.       3 S         .  Câu 5.   (CHUYÊN SP – 2017)   Khẳng định nào trong sau đây là khẳng định đúng? A.              3 2 2 2   1 1   3  x x   dx   C             .   B.              2 2   2 1   2   1 x   dx   x   C              . C.         5   3 2 2   2 1   5   3  x   x  x   dx   x   C                 .   D.         5   3 2 2   2 1   5   3  x   x  x   dx   x              .  Câu 6.   (CHUYÊN SP – 2017)   Trên khoảng       0;    , hàm số   ln y   x    là một nguyên hàm của hàm số A.   1  y   C  x        .   B.   1  y   x     .   C.   ln y   x   x   x       .   D.   ln y   x   x   x   C          .  Câu 7.   (CHUYÊN SP – 2017)   Khẳng định nào trong sau đây là khẳng định đúng?ThS. Nguyeãn Vaên Rin   Trang 2/27 – Mã đề thi 222  A.   2 tan   tan xdx   x   x        .   B.  3 2   tan tan   x  xdx   C  x         . C.  3 2   tan tan   x  xdx   x      .   D.   2 tan   tan xdx   x   x   C           .  Câu 8.   (THTT ĐỀ 5 – 2017)   Hàm số       F x   nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số     2  1  1  f   x x     trên khoảng       ;    .  A.             2 ln   1 F x   x   x   C             .   B.             2 ln 1   1 F x   x   C             . C.         2 1 F x   x   C          .   D.      2 2 1  x  F x   C  x         .  Câu 9.   (CHUYÊN KHTN – 2017)   Một nguyên hàm của hàm số   x   x   là  A.  3 2 2   2 3   3  x      .   B.   2 1   2 2   x   x      .   C.  5 2   2 5  x      .   D.   2 2   5 5   2  x   x      .  Câu 10.   (CHUYÊN KHTN – 2017)   Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số  2 sin   cos y   x   x    . A.   2 2 sin   x   .   B.   2   2 sin   cos x   x    .   C.   cos 2 x    .   D.   2 cos   sin x   x    .  Câu 11.   (CHUYÊN KHTN – 2017)   Tìm   1   ln   x   dx  x       . A.   2 1 ln   ln 2  I   x   x   C          .   B.   2 ln   ln I   x   x   C          . C.   2 ln I   x   x   C          .   D.   2 1 ln 2  I   x   x   C          .  Câu 12.   (CHUYÊN KHTN – 2017)   Tìm   tan 2 xdx    . A.   1   ln sin 2 2  I   x   C       .   B.   1   ln cos 2 2  I   x   C       . C.   2 ln sin 2 I   x   C       .   D.   ln cos 2 I   x   C       .  Câu 13.   (CHUYÊN KHTN – 2017)   Tìm       2 2 ln   1 1  x   x   dx x       . A.       2 ln   1 I   x   C          .   B.       2   2 1 ln   1 4  I   x   C          . C.       2 1 ln   1 2  I   x   C          .   D.       2   2 ln   1 I   x   C          .  Câu 14.   Tìm hàm số       f   x   biết rằng   2 '( )   ,   '(1)   0,   (1)   4,   (   1)   2  b  f   x   ax   f   f   f x                    . A.  2   1   5 2   2  x  x        B.  2   1   5 2   2  x  x        C.  2   1   5 2   2  x  x        D.  2   1   5 2   2  x  x        .

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Nguyễn Văn Rin

Group Nhóm Toán | T rắc nghiệm 2016 -2017  1  TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN  (TỰ LUẬN)  Hoàng Văn Quý –   GV trường THPT Lương Tài số   2  1. Ki  n th  c liên quan 1.1. Công th  n  Nguyên hàm c  a hàm s    cơ b  n   Nguyên hàm m    r  ng dx   x   C      .   , a a dx   ax   C         1  ,   1 1  x x dx   C                   1  1 (   ) (   )   .   1  ax   b ax   b   dx   C a                    ln   , x   0  dx   x   C x           1 .ln  dx   ax   b   C ax   b   a           x   x  e dx   e   C      1 . ax   b   ax   b  e   dx   e   C a            ln  x x   a a dx   C a       1 . ln  x x   a a   dx   C a                       cos   sin xdx   x   C      1 cos(   )   .sin(   ) ax   b dx   ax   b   C a             sin   cos xdx   x   C      1 sin(   )   .cos(   ) ax   b dx   ax   b   C a             2  1   tan cos   dx   x   C x        2  1   1 tan(   ) cos (   )   dx   ax   b   C ax   b   a           2  1 sin   dx   cotx   C x        2  1   1   (   ) sin (   )   dx   cot ax   b   C ax   b   a            1.2. Công th  c tích phân  F(x) là m  t nguyên hàm c  a hàm s    f(x)   trên đoạ n [a;b] thìGroup Nhóm Toán | T rắc nghiệm 2016 -2017  2 ( )   ( )   ( )   ( )  b   b a a  f   x dx   F x   F b   F a          1.3. Phương pháp đổ i bi  n s   1.3.1. D  ng 1 : Tính I =       '  ( )   ( )  b a  f   x   x dx        + Đặ t t = ( ) x   '   ( ). dt   x dx        + Đổ i c  n : (   ) (   )  ( ) ( ).   ( )   ( )  b a  b f t dt   F t   a           I =  1.3.2. D  ng 2 : Tính I = ( )  b a  f   x dx    b  t x = ( ) t    D  ng ch  a 2   2  a   x    : Đặ t x = asint, t ; 2   2                     (a>0)  1.4. Phương pháp tích phân từ ng ph  n  *   Công th  c tính   : ( )  b   b   b b a a   a   a  f   x dx   udv   uv   vdu                    t  Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:  * Loại 1:             ) ( ... ) ( ... ... ...  ham nguyen lay v ham dao lay dx du dv u  x   a   b  t ( ) a   ( ) b  

Tổng hợp bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nhóm Toán

[...Chuyên đề   Tr  c nghi  m Toán 12 ...]   NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN -    NG D  NG  Giáo viên:   LÊ BÁ B  O ... 0935.785.115 ...   1   CLB Giáo viên tr    TP Hu   I      T  NG QUAN LÝ THUY  T:  1. Nguyên hàm a.      Cho hàm s      f   x   xác đị nh trên K   ( K   là kho  n hay n  a kho  ng). Hàm s      F x    c g  i là nguyên hàm c  a hàm s      f   x   trên K   n  u           ' F   x   f   x    v  i m  i x   K    .  b.    nh lí:  1) N  u     F x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s      f   x   trên K   thì v  i m  i h  ng s  C   , hàm s            G x   F x   C      cũng là mộ t nguyên hàm c  a     f   x   trên K   . 2) N  u     F x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s      f   x   trên K   thì m  i nguyên hàm c  a     f   x  trên K    u có d  ng     F x   C    , v  i C   là m  t h  ng s  .  Do đó       , F x   C   C          là h    t  t c    các nguyên hàm c  a     f   x   trên K   . Ký hi  u           d f   x   x   F x   C        .  2. Tính ch  t c  a nguyên hàm Tính ch  t 1:               d f   x   x   f   x      và           d ' f   x   x   f   x   C       Tính ch  t 2:           d   d kf   x   x   k   f   x   x        v  i k   là h  ng s    khác 0   .  Tính ch  t 3:                       d   d   d f   x   g x   x   f   x   x   g x   x                        Chú ý:                                          d d   d   d   d   d  .   .   ;   .  f   x   x f   x f   x   g x   x   f   x   x   g x   x   x g x   g x   x                                 3. S    t  n t  i c  a nguyên hàm   nh lí:   M  i hàm s      f   x   liên t  c trên K    u có nguyên hàm trên K   .  4. B  ng nguyên hàm c  a m  t s    hàm s    sơ cấ p Nguyên hàm c    sơ c  Nguyên   hàm   c    hàm   s    h      ;   0 u   ax   b   a          Nguyên hàm c  s           u   u x  d 0   x   C   d 0   u   C   d x   x   C      d u   u   C       NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊ NH NGUYÊN HÀM[...Chuyên đề   Tr  c nghi  m Toán 12 ...]   NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN -    NG D  NG  Giáo viên:   LÊ BÁ B  O ... 0935.785.115 ...   2   CLB Giáo viên tr    TP Hu  d   1 1 1  x   x   x   C                   1             d   1 1   1 .   1  ax   b   x   ax   b   C a                         1   d   1 1 1  u   u   u   C                   1   d  1   ln x   x   C x        d  1   1 ln x   ax   b   C ax   b   a           d  1   ln u   u   C u        d x   x  e   x   e   C      d   1 ax   b   ax   b  e   x   e   C a            d u   u  e   u   e   C      d   ln  x x   a a   x   C a           0,   1 a   a     d   1 . ln  ax   b ax   b   A A   x   C a   A               0,   1 a   a     d   ln  u u   a a   u   C a           0,   1 a   a     d sin   cos x x   x   C                d   cos sin   ax   b ax   b   x   C a           du   u sin   cos u   C      d cos   sin x x   x   C                d   sin cos   ax   b ax   b   x   C a           d cos   sin u u   u   C      d 2  1   tan cos   x   x   C x                d 2  tan 1 cos  ax   b x   C a ax   b         d 2  1   tan cos   u   u   C u        d 2  1   cot sin   x   x   C x                d 2  cot 1 sin  ax   b x   C a ax   b         d 2  1   cot sin   u   u   C u         II      PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM  1. Phƣơng pháp đổ i bi  n s    nh lí 1:   N  u           f   u du   F u   C        và     u   u x    là hàm s    có đạ o hàm liên t  c thì                         d ' f   u x   u   x   x   F u x   C       H    qu  :   N  u     0 u   ax   b   a          thì ta có           d   1  f   ax   b   x   F ax   b   C a              2. Phƣơng pháp nguyên hàm từ ng ph  n   nh lí 2:   N  u hai hàm s      u   u x    và     v   v x    có đạ o hàm liên t  c trên K   thì                                   d   d '   ' u x v   x   x   u x v x   u   x v x   x          Vì           '   ,   ' v   x dx   dv   u   x dx   dv       nên    ng th  c vi  i d  ng: d   d u v   uv   v u        

Các phương pháp xác định nguyên hàm – Lê Bá Bảo

Chinh ph  c NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN      Th  y    NG VI  T HÙNG   Facebook: Lyhung95  Tham gia các khóa Chinh ph  c; Luy  n    ; V       i MOON.VN : T    tin h  ng    n kì thi   THPT Qu  c Gia 2017!  VIDEO BÀI GI  NG và L  I GI  I CHI TI  T CÁC BÀI T  P ch    có t  i website MOON.VN  Group trao ñổi bài : www.facebook.com/groups/Thayhungdz  Câu 1:   Cho tích phân  ln 1  ln  e   x a x   e I   dx   e   b x  + =   =       , giá tr    c  a   2 a   b +   b  ng  A.   2   B.   3  2   C.   5  2   D.   3   .  Câu 2:   Cho    ng th  c  (   )  1   3 2 4 0  4 2   3.   0 2  x m   dx x     =  +     . Khi       2  144   1 m      b  ng  A.   2 3     B.   1  3     C.   1  3   D.   2 3   .  Câu 3:   Cho tích phân   (   )  0  2   1   2   1 1   ln 1   2  x a x  x   e   x   e dx e  +   +   + =   + +    , giá tr    c  a s    th  c d  ng   a   b  ng  A.   3 2  a   =   B.   1  2  a   =   C.   1 a   =   D.   2 a   =   .  Câu 4:   Cho    ng th  c tích phân  1 2 1  ln 3 3 .   6   0  m x   dx x   +   =    và tham s    th  c   m   , giá tr    c  a   m   b  ng  A.   3 2  m   =   B.   1  2  m   =   C.   1 m   =   D.   2 m   =   .  Câu 5:   Cho tích phân   (   ) 2  cos ln   1  a  e e  x I   dx x    =   =    v  i   [   ] 1;1 a      , giá tr    c  a   a   b  ng  A.   1 a   = −   B.   1 a   =   C.   1  2  a   =   D.   0 a   =   .  Câu 6:   Bi  t r  ng  1 2 0  ln 3   ln 2   ln 4  5   6  dx   a   b   c x   x   =       +   +    v  i   , , a b c   là các s    th  c. Tính   2   2 2 P   a   b   c =   +   +  A.   2.   B.   4.   C.   6.   D.   8. Câu 7:   Bi  t r  ng  2 2 1  8   5   ln 2   ln 3   ln 5 6   7   2  x   dx   a   b   c x   x  +   =   +   + +   +    v  i   , , a b c   là các s    th  c. Tính   2   3   3 P   a   b   c =   +   +  A.   1.   B.   2.   C.   3.   D.   4. Câu 8:   Bi  t r  ng  1 2 2 0  3  1   x dx   a   b       =   +    v  i   , a b   là các s    nguyên. Tính   P   a   b =   +  A.   10.   B.   12.   C.   15.   D.   20. Câu 9:   Bi  t r  ng  2 0  sin 2   cos   ln 2 1   cos  x   x   dx   a   b x    =   +  +    v  i   , a b   là các s    nguyên. Tính   2   3 2   3 P   a   b =   +  A.   5.   B.   7.   C.   8.   D.   11.  Tài liệu bài giảng (Chinh phục Tích phân – Số phức)  BỘ CÂU HỎI TÍCH PHÂN CHỐNG CASIO  Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vnChinh ph  c NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN      Th  y    NG VI  T HÙNG   Facebook: Lyhung95  Tham gia các khóa Chinh ph  c; Luy  n    ; V       i MOON.VN : T    tin h  ng    n kì thi   THPT Qu  c Gia 2017!  Câu 10:   Bi  t r  ng  1 2 0  x  x e dx   ae   b =   +    v  i   , a b   là các s    nguyên. Tính   3  2 P   a   b =   +  A.   0.   B.   2.   C.   2.    D.   1. Câu 11:   Cho hàm s    (   ) f   x   có    o hàm trên    o  n   [   ] 1; 4   và   (   )   (   ) 1   2;   4   10. f   f =   =   Tính   (   )  4 1  '   . I   f   x dx =     A.   48. I   =   B.   3. I   =   C.   8. I   =   D.   12. I   =  Câu 12:   Bi  t   (   ) F   x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s    (   )   1  5  f   x   x  =      và   (   ) 6   4. F   =   Tính   (   ) 10 . F  A.   (   ) 10   4   ln 5. F   =   +   B.   (   ) 10   5   ln 5. F   =   +   C.   (   )   21  10   .  5  F   =   D.   (   )   1  10   .  5  F   =  Câu 13:   Cho   (   )  6 0  20. f   x dx   =    Tính   (   )  3 0  2   . I   f   x dx =     A.   40. I   =   B.   10. I   =   C.   20. I   =   D.   5. I   =  Câu 14:   Cho hàm s    (   ) f   x   liên t  c trên    o  n   [   ] 0; 6   th  a mãn   (   )  6 0  10 f   x dx   =    và   (   )  4 2  6. f   x dx   =    Tính giá tr   c  a bi  u th  c   (   )   (   )  2   6 0   4  . P   f   x dx   f   x dx =   +      A.   4. P   =   B.   16. P   =   C.   8. P   =   D.   10. P   =  Câu 15:   Bi  t  5 2 2  ln 2   ln 5,  dx   a   b x   x   =   +     v  i   , a   b   là hai s    nguyên. Tính   2   2 2   3   . P   a   ab   b =   +   +  A.   18. P   =   B.   6. P   =   C.   2. P   =   D.   11. P   =  Câu 16:   Bi  t  4 2 2  2   1   ln 3   ln 2  x I   dx   a   b x   x   =   =   +     , v  i   ; a b   là các s    nguyên. Giá tr    c  a bi  u th  c   2   2  A   a   b =   +   là:  A.   2 A   =   B.   5 A   =   C.   10 A   =   D.   20 A   =  Câu 17:   Bi  t r  ng   (   ) 2 1  2 ln   1   ln 2 ln   1  e   x   b  I   dx   a   c x   x  + =   =    +     , v  i   , , a b c   là các s    nguyên d  ng và   b  c   là phân s    t  i gi  n. Tính   S   a   b   c =   +   +  A.   3 S   =   B.   5 S   =   C.   7 S   =   D.   10 S   =  Câu 18:   Bi  t r  ng   (   )  4 0  ln 2   1   .ln 3  a I   x   x   dx   c b  =   +   =       ; v  i   , , a b c   là các s    nguyên d  ng và   a  b   là phân s    t  i gi  n. Tính   S   a   b   c =   +   +   .  A.   60 S   =   B.   68 S   =   C.   70 S   =   D.   64 S   =  Câu 19:   Bi  t r  ng   (   )  2 0  cos   .   sin   8 I   x f   x dx    =   =    . Tính   (   )  2 0  sin   .   cos K   x f   x dx    =      .  A.   8 K   = −   B.   4 K   =   C.   8 K   =   D.   16 K   =  Câu 20:   Cho hàm s    (   )   .   x  f   x   a e   b =   +   có    o hàm trên    o  n   [   ] 0;   a   ,   (   ) 0   3 f   a =   và   (   )  0  '   1  a  f   x   e =       . Tính giá tr   c  a bi  u th  c   2   2  P   a   b =   +   .  A.   25 P   =   B.   20 P   =   C.   5 P   =   D.   10 P   =  Câu 21:   Bi  t r  ng   (   ) f   x   là hàm liên t  c trên      và   (   )  9 0  9 T   f   x dx =   =    . Tính   (   )  3 0  3 D   f   x   T   dx =   +            .  A.   30 D   =   B.   3 D   =   C.   12 D   =   D.   27 D   =

Bộ câu hỏi tích phân chống Casio có lời giải chi tiết – Đặng Việt Hùng

Nhóm Casio - Latex biên tập  TUYỂN TẬP CÂU HỎI  TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN DÙNG CASIO  Biên tập: Nguyễn Bình Nguyên  Tháng 02 - 2018Mục lục  1   Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 1.1   Phương pháp bấm máy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 1.2   Các ví dụ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 2   Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức   . . . . . . . . . . . . . . . . .   6 2.1   Cơ sở lí thuyết giải nguyên hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   6 2.2   Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II   . .   6 3   Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm . . . . . . . . . . . . . . .   12 4   Nguyên hàm dạng cho   f   ( x )   và   F   ( a ) . Tính   F   ( b )   - Thầy Học Toán   . . . . . . . . .   20 5   Tích phân dạng đặc biệt- Thầy Huỳnh Văn Quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   28 6   Tích phân hàm hữu tỉ- Thầy Triệu Minh Hà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36 7   Tích phân của hàm lượng giác- Thầy Nguyễn Hữu Nhanh Tiến . . . . . . . . . . .   41 8      e x   - Thầy Nguyễn Vân Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   47 9   Tích Phân Casio liên quan đến   ln   x   - Thầy Nguyễn Tài Tuệ . . . . . . . . . . . . .   52 10   Tích phân từng phần - Thầy Trần Hiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   58 1

Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm nguyên hàm – tích phân dùng Casio

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017   NỘI DUNG: ÔN TẬP GIAI ĐOẠN CUỐI  ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM   1 |   THBTN  Chủ đề 1. TÌM NGUYÊN HÀM Câu 1.   (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 110)   Tìm nguyên hàm của hàm số         1  5   2  f   x   x        .  A.   d   5ln 5   2 5   2  x   x   C x               .   B.   d   1 ln 5   2 5   2   5  x   x   C x               .  C.   d   ln 5   2 5   2  x   x   C x               .   D.   d   1 ln 5   2 5   2   2  x   x   C x               .  Câu 2.   (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 110)   Cho       F   x   là một nguyên hàm của hàm số        ln   x  f   x   x     . Tính:             1 I   F e   F       ?  A.   1  2  I      .   B.   1  I   e     .   C.   1 I      .   D.   I   e    .  Câu 3.   (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 110)   Cho             1   x  F   x   x   e       là một nguyên hàm của hàm số         2 x  f   x e   . Tìm nguyên hàm của hàm số         2 x  f   x e    .  A.             2   d   2 x   x f   x e   x   x   e   C              .   B.         2   2 d   2  x   x x x f   e   x   e   C              .  C.             2   d   2 x   x f   x e   x   x e   C              .   D.             2   d   4   2 x   x f   x e   x   x e   C              .  Câu 4.   (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 102)   Tìm nguyên hàm của hàm số         7   x  f   x      .  A.   7 d   7 ln 7   . x   x x   C        B.   7 7 d   . ln 7  x x   x   C        C.   1 7 d   7   . x   x x   C         D.  1 7 7 d   . 1  x x   x   C x          Câu 5.   (Đề   Thi   THPTQG   năm   2017   Mã      102)   Tìm   nguyên   hàm       F   x   của   hàm   số        sin   cos f   x   x   x       thoả mãn   2  2  F                A.         cos   sin   3 F   x   x   x          .   B.         cos   sin   3 F   x   x   x          .  C.         cos   sin   1 F   x   x   x          .   D.         cos   sin   1 F   x   x   x          .  Câu 6.   (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 102)   Cho         2  1  2  F   x   x     là một nguyên hàm của hàm số      f   x  x   . Tìm nguyên hàm của hàm số         ln f   x   x    .  A.         2   2 ln   1 ln   d   2  x f   x   x   x   C x   x                           .   B.         2   2 ln   1 ln   d   x f   x   x   x   C x   x               .  TỔNG ÔN CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂNTÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017   NỘI DUNG: ÔN TẬP GIAI ĐOẠN CUỐI  2 |   THBTN – CA   - HỌC NHIỀU MỚI THẤY MÌNH BIẾT ÍT-  C.         2   2 ln   1 ln   d   x f   x   x   x   C x   x                           .   D.         2   2 ln   1 ln   d   2  x f   x   x   x   C x   x               .  Câu 7.   (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 103)   Tìm nguyên hàm của hàm số         2sin f   x   x    .  A.   2 sin   2 cos xdx   x   C        .   B.   2 2 sin   sin xdx   x   C        .  C.   2 sin   sin 2 xdx   x   C        .   D.   2 sin   2 cos xdx   x   C        .  Câu 8.   (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 103)   Cho       F   x   là một nguyên hàm của hàm số        2 x f   x   e   x       thỏa mãn         3  0   .  2  F      Tìm         . F   x  A.         2   3 . 2  x F   x   e   x          B.         2   1 2   . 2  x F   x   e   x         C.         2   5 . 2  x F   x   e   x          D.         2   1 . 2  x F   x   e   x         Câu 9.   (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 103)   Cho   3  1  ( )   3   F x   x   là một nguyên hàm của hàm số  ( ) f   x  x   . Tìm nguyên hàm của hàm số   '( ) ln f   x   x   .  A.   3   5 ln   1 '( ) ln   5            x f   x   xdx   C x   x   .   B.   3   5 ln   1 '( ) ln   5            x f   x   xdx   C x   x   .  C.   3   3 ln   1 '( )ln   3            x f   x   xdx   C x   x   .   D.   3   3 ln   1 '( ) ln   3            x f   x   xdx   C x   x   .  Câu 10.   (Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh – cụm 6 – năm 2017)   Xét        5 3   4 4   3 I   x   x   dx        . Bằng cách đặt  4 4   3 u   x       , khẳng định nào sau đây đúng  A.   5 1 4  I   u du       .   B.   5 1 12  I   u du       .   C.   5 1 16  I   u du       .   D.   5  I   u du       .  Câu 11.   (Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh – cụm 6 – năm 2017)   Tìm nguyên hàm       F   x   của hàm số            2 1   3 x   x  f   x   e   e         A.         3 3 x   x F   x   e   e   C           .   B.         3 x   x F   x   e   e   C           .  C.         3 x   x F   x   e   e   C           .   D.         2 3 x   x F   x   e   e   C           .  Câu 12.   (Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh – cụm 6 – năm 2017)   Gọi       F   x   là một nguyên hàm của hàm số        cos 5 cos f   x   x   x    thỏa mãn   0  3  F                 . Tính   6  F                   .

Tổng hợp 414 bài tập trắc nghiệm nguyên hàm trong đề thi thử có đáp án – Trần Văn Tài

G Gi iá  o v vi iê  n: : L LÊ  BÁ  B   O O_ _ T Tr r     n ng g T TH HP PT T       n ng g H Hu uy y T Tr r   , , H Hu u    S S   T T: :   0 09 93 35 5. .7 78 85 5. .1 11 15 5       a a c ch h   : : 1 11 16 6/ /0 04 4 N Ng gu uy y   n n L L     T Tr r   c ch h, , T TP P H Hu u    T Tr ru un ng g t tâ  m B BD DK KT T 8 87 7 B Bù  i T Th h     X Xu uâ  n, , T TP P H Hu u   Bμi viÕt chuyªn ®Ò:  NGUY£N HμM  LuyÖn thi THPT 2017_2018  HuÕ, th ̧ng   9 /2017[...Chuyên đề   Tr  c nghi  m Toán 12 ...]   NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN -    NG D  NG  Giáo viên:   LÊ BÁ B  O ... 0935.785.115 ...   1   CLB Giáo viên tr    TP Hu   Chuyên đề :   TÍCH PHÂN    NG D  NG  Ch       1:   NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊ NH NGUYÊN HÀM I      T  NG QUAN LÝ THUY  T:  1. Nguyên hàm a.      Cho hàm s      f   x   xác đị nh trên K   ( K   là kho  n hay n  a kho  ng). Hàm s      F x    c g  i là nguyên hàm c  a hàm s      f   x   trên K   n  u           ' F   x   f   x    v  i m  i x   K    .  b.    nh lí:  1) N  u     F x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s      f   x   trên K   thì v  i m  i h  ng s  C   , hàm s            G x   F x   C      cũng là mộ t nguyên hàm c  a     f   x   trên K   . 2) N  u     F x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s      f   x   trên K   thì m  i nguyên hàm c  a     f   x  trên K    u có d  ng     F x   C    , v  i C   là m  t h  ng s  .  Do đó       , F x   C   C          là h    t  t c    các nguyên hàm c  a     f   x   trên K   . Ký hi  u           d f   x   x   F x   C        .  2. Tính ch  t c  a nguyên hàm Tính ch  t 1:               d f   x   x   f   x      và           d ' f   x   x   f   x   C       Tính ch  t 2:           d   d kf   x   x   k   f   x   x        v  i k   là h  ng s    khác 0   .  Tính ch  t 3:                       d   d   d f   x   g x   x   f   x   x   g x   x                        Chú ý:                                          d d   d   d   d   d  .   .   ;   .  f   x   x f   x f   x   g x   x   f   x   x   g x   x   x g x   g x   x                                 3. S    t  n t  i c  a nguyên hàm   nh lí:   M  i hàm s      f   x   liên t  c trên K    u có nguyên hàm trên K   .  4. B  ng nguyên hàm c  a m  t s    hàm s    sơ cấ p Nguyên hàm c    sơ c  Nguyên   hàm   c    hàm   s    h      ;   0 u   ax   b   a          Nguyên hàm c  s           u   u x  d 0   x   C   d 0   u   C   d x   x   C      d u   u   C     

Chuyên đề nguyên hàm luyện thi THPT Quốc gia 2018 – Lê Bá Bảo

Trang 1  TUY  N   CH  N   BÀI   T  P   TR  C   NGHI  M   NGUYÊN   HÀM     https://toanmath.com/     PH  N   A.   BÀI   T  P   TR  C   NGHI  M   CÓ   L  I   GI  I   CHI   TI  T.  D  NG   1.      D  NG   CÔNG   TH  C   NGUYÊN   HÀM   C    B  N.  Câu   1:   Cho   hàm   s    2 sin 2   cos   1 y   x   x          có   nguyên   hàm   ( ) f x   th  a   mãn   2   2  f                    .  Kh  ng    nh   nào   sau       là   sai   ?  A.   ( ) f x   có   h    s    t    do   b  ng   0.   B.   ( ) f x   có   h    s    t    do   b  ng   2.  C.   (1)   cos 2   sin1   1 f   x          .   D.   (   )   1 f            .  Câu   2:   Cho   hàm   s    3 3   4 y   x   x       có   nguyên   hàm   ( ) f x   sao   cho   ( )   7 f x      Tính   giá   tr    c  a  bi  u   th  c   (0)   (64) f   f    .  A. 1796   B. 1792   C. 1945   D. 2016  Câu   3:   Tìm   m  t   nguyên   hàm   I   c  a   hàm   s           2 2   1   4 y   x   x   x   dx             .  A.       2 2 1   4   2 2  I   x   x             B.       2 2 1   4   3   2 3  I   x   x            C.       2 2 1   4   3 4  I   x   x   x             D.       2 2 3   4   9 2  I   x   x            Câu   4:   Cho   hàm   s              2 2 3 1 x f   x   x      .   M  t   nguyên   hàm   F   (x)   c  a   f   (x)   th  a   mãn   (1)   4 F     là:  A.  2 2 2 2 ln   4 2  x   x   x           B.  2 2 2 2 ln   4 2   2  x   x   x          C.  2 2 1   9 2 ln 2   2   2  x   x   x           D.  2 2 2 2 ln   2 2  x   x   x          Câu   5:   M  t   nguyên   hàm   F   (x)   c  a   hàm   s          2 1  x x   e f   x   e   x                    th  a   mãn    1 F   e    là:  A.         1   1 x F x   e   x           B.         1   1 x F x   e   x          C.         1   1 x F x   e   x           D.         1   1 x F x   e   x          Câu   6:   Tìm   nguyên   hàm       F x   c  a   hàm   s          2 sin 2 f   x   x    và   8   16  F                    .  A.         1   1   1 sin 4 2   8   8  F x   x   x          B.         1   1   1 sin 4 2   8   8  F x   x   x       C.         1   1   1 sin 4 2   8   8  F x   x   x          D.         1   1   1 sin 4 2   8   8  F x   x   x         Câu   7:   Tìm   m  t   nguyên   hàm   F   (x)   c  a   hàm   s    2 ( )   tan f x   x    bi  t   1 4  F                 K  t   qu    là:  A.         tan   4  F x   x   x             B.         tan   4  F x   x   x            C.         tan   4  F x   x   x             D.         tan   4  F x   x   x            Câu   8:   Tìm   m  t   nguyên   hàm   F   (x)   c  a   hàm   s          2   2   1 x   x f   x   x         bi  t      1 1   2  F      .   K  t   qu   là:  A.         2 2   ln   2 2  x F x   x   x             B.         2 2   ln   2 2  x F x   x   x            C.         2   1 2   ln 2   2  x F x   x   x             D.         2   1 2   ln 2   2  x F x   x   x            Câu   9:   Tìm   m  t   nguyên   hàm   F   (x)   c  a   hàm   s          3   4 f   x   x       bi  t       0   2 F      .   K  t   qu    là:  A.   3 2   2 ( )   (3   4) 9   9  F x   x          B.   3 2   2 ( )   (3   4) 9   9  F x   x         C.   3 2   10 ( )   (3   4) 3   3  F x   x          D.   3 2   10 ( )   (3   4) 3   3  F x   x         Câu   10:   M  t   nguyên   hàm   c  a   hàm   s          3   2 3   5 f   x   x   x          là:  A.   2 3   6 x   x    B.   2 3   6 x   x   C      C.  2 3   5 4  x   x   x   C          D.   4   3   5 x   x   x   C         Câu   11:   M  t   nguyên   hàm   c  a   hàm   s          4   2 5   4   6 g x   x   x          là:  A.   5   3 4   6 3  x   x   x   C             B.   3 20   8 x   x   C         C.   3 20   8 x   x       D.   5   3 4 3  x   x   C         Câu   12:   M  t   nguyên   hàm   c  a   hàm   s          1 1 f   x   x        là:  A.   2 1  x     B.   ln x   x    C.   2 1  x   x     D.  2 1   1 2   x   x                Câu   13:   Tính   (   ) sinx   cosx dx     là:  A.   cosx   sinx   C          B.   cosx   sinx   C          C.   cosx   sinx   C       D.   cosx   sinx   C    

Tuyển chọn bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải chi tiết

Giải toán 12 nguyên hàm – tích phân – Trần Đức Huyên

Biên so  n: Ph  m Minh Tu  n  Bài 1 [Đ       f   x   có đ   c trên đo  0;1           th   1   0 f     ,      1   2 0  '   7 f   x   dx               và      1 2 0  1 3  x f   x dx       . Tính      1 0  f   x dx   A. 7 5   B. 1   C. 7 4   D. 7  Hướ ng d  n gi  i:  Xét      1 2 0  1 3  I   x f   x dx        .   t                              1   1   1 3 3   3 3 2 0   0 0  '   1   1 .   '   '   1 3   3   3 3  du   f   x u   f   x   x I   f   x   x f   x dx   x f   x dx x dv   x dx   v                                                          Ch  ng   minh BĐT   tích phân sau:                           2 2   2  .   *  b   b   b a   a   a  f   x g x dx   f   x dx   g   x dx                              V  i m  i t      ta có:                                    2   2   2   2  0   2 tf   x   g x   t f   x   tf   x g x   g   x                       L  y tích phân 2 v    theo bi  c:                          2   2   2  2   0  b   b   b a   a   a  h t   t   f   x dx   t   f   x g x dx   g   x dx                   h t  là tam th  c b  u ki  n:                                                2   2 2 2   2   2   2 0   .   0   . '   0  b   b   b   b   b   b a   a   a   a   a   a  t   f   x g x dx   f   x dx   g   x dx   f   x g x dx   f   x dx   g   x dx                                                                                  D  y ra khi           tf   x   g x        ng:            2 1   1   1   2 3   6 0   0   0  1 1   '   .   '   .7   1 7  x f   x dx   x dx   f   x   dx                                                 B  NG TH  C TÍCH PHÂNBiên so  n: Ph  m Minh Tu  n  D  y ra khi và ch    khi       3  ' f   x   kx    . M  c khác:                  1 3   3   3   4 0  7 '   1   7   '   7   7   4  x f   x dx   k   f   x   x   f   x   x dx   x   C                                  Mà  1   0 f      nên      1   1 4 0   0  7   7   7   7 4   4   4   5  C   f   x dx   x   dx                                    NH  N XÉT:   Th    chính là h    qu    BĐT Holder về   tích phân  BĐT   Holder v    tích phân phát bi                         1   1  .  b   b   b p   q p   q a   a   a  f   x g x   dx   f   x   dx   g x   dx                                                   v  i ,   1 p q      th  a 1   1   1  p   q       D  y ra khi và ch    khi t  n t  i hai s    th  c , m n   không đồ ng th  i b  ng 0 sao cho            p   q  m f   x   n g x   H    qu  :   V  i 2 p   q       thì BĐT trở   thành                            2   2   2  . f   x g x dx   f   x dx   g   x dx          BTAD:   Cho hàm s      f   x   liên t  c trên đo  n 0;1           th  a mãn            1   2 0  1 1   '   3  x   f   x dx        .  Giá tr    nh    nh  t c  a tích phân      1 2 0  f   x dx    là:  A.     0   2 3  f      B.     3   0   2 3  f      C.     3   0   2 3  f      D.     0   2 3  f     Bài 2 . Cho hàm s      f   x   có đ  o hàm liên t  c trên đo  n 0;1           th  a mãn     0   0 f      ,     0;1  max   '   6 f   x             và      1 0  1 3  f   x dx       .   G  i M   là   giá tr    l  n nh  t c  a tích phân      1 3 0  f   x dx    .  Kh  ng đ  nh nào sau đây đúng?  A. 3 1; 2  M                 B. 1 0; 2  M                 C. 1 ;1 2  M                 D. 3 ; 2 2  M                Hướ ng d  n gi  i:

Áp dụng bất đẳng thức tích phân giải các bài toán tích phân nâng cao – Phạm Minh Tuấn

TÀI LI  U LUY  N THI THPT QU  C GIA      2018   T  NG ÔN: NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN -    NG D  NG  ADMIN TR    0977.413.341 - TOÁN H  C B  C  TRUNG  NAM   1 |   THBTN  PHẦN 1: NGUYÊN HÀM  Câu 1.   (Đề   Thi THPTQG năm 2017 Mã đề   110)   Tìm nguyên hàm c  a hàm s        1 5   2  f   x   x        .  A. d   5ln 5   2 5   2  x   x   C x              .   B. d   1 ln 5   2 5   2   5  x   x   C x              .  C. d   ln 5   2 5   2  x   x   C x              .   D. d   1 ln 5   2 5   2   2  x   x   C x              .  Câu 2.   (Đề   Thi THPTQG năm 2017 Mã đề   110)   Cho     F   x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s        ln   x f   x   x    . Tính:     1 I   F e   F       ?  A. 1 2  I      .   B. 1  I   e     .   C. 1 I      .   D. I   e    .  Câu 3.   (Đề   Thi THPTQG năm 2017 Mã đề   110)   Cho           1   x  F   x   x   e       là m  t nguyên hàm c  a hàm s        2 x  f   x e   . Tìm nguyên hàm c  a hàm s        2 x  f   x e    .  A.           2   d   2 x   x  f   x e   x   x   e   C              .   B.       2   2 d   2  x   x x x f   e   x   e   C             .  C.           2   d   2 x   x  f   x e   x   x e   C              .   D.           2   d   4   2 x   x  f   x e   x   x e   C              .  Câu 4.   Tìm nguyên hàm c  a hàm s        7 x  f   x      .  A. 7 d   7 ln 7   . x   x  x   C        B. 7 7 d   . ln 7  x x   x   C        C. 1  7 d   7   . x   x  x   C          D. 1  7 7 d   . 1  x x   x   C x           Câu 5.   Tìm nguyên hàm     F   x   c  a hàm s        sin   cos f   x   x   x       tho    mãn 2 2  F                A.       cos   sin   3 F   x   x   x          .   B.       cos   sin   3 F   x   x   x          .  C.       cos   sin   1 F   x   x   x          .   D.       cos   sin   1 F   x   x   x          .  Câu 6.   Cho       2  1 2  F   x   x     là một nguyên hàm của hàm số     f   x x   . Tìm nguyên hàm của hàm số     ln f   x   x   .  A.       2   2  ln   1 ln   d   2  x f   x   x x   C x   x                            .   B.       2   2  ln   1 ln   d   x f   x   x x   C x   x               .TÀI LI  U LUY  N THI THPT QU  C GIA      2018   T  NG ÔN: NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN -    NG D  NG  2 |   THBTN      CA   LƯU HÀNH NỘ I B    TRUNG TÂM: TH  Y TÀI: 0977.413.341  C.       2   2  ln   1 ln   d   x f   x   x x   C x   x                            .   D.       2   2  ln   1 ln   d   2  x f   x   x x   C x   x               .  Câu 7.   (Đề   Thi THPTQG năm 2017 Mã đề   103)   Tìm nguyên hàm c  a hàm s        2sin f   x   x    .  A. 2sin   2cos xdx   x   C        .   B. 2  2sin   sin xdx   x   C        .  C. 2sin   sin 2 xdx   x   C        .   D. 2sin   2cos xdx   x   C        .  Câu 8.   (Đề   Thi THPTQG năm 2017 Mã đề   103)   Cho     F   x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s        2 x  f   x   e   x      th  a mãn       3 0   . 2  F      Tìm     . F   x  A.       2   3 . 2  x  F   x   e   x          B.       2   1 2   . 2  x  F   x   e   x         C.       2   5 . 2  x  F   x   e   x          D.       2   1 . 2  x  F   x   e   x         Câu 9.   (Đề   Thi THPTQG năm 2017 Mã đề   103)   Cho 3  1 ( )   3   F x   x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s  ( ) f   x x   . Tìm nguyên hàm c  a hàm s  '( )ln f   x   x   .  A. 3   5  ln   1 '( )ln   5            x f   x   xdx   C x   x   .   B. 3   5  ln   1 '( )ln   5            x f   x   xdx   C x   x   .  C. 3   3  ln   1 '( )ln   3            x f   x   xdx   C x   x   .   D. 3   3  ln   1 '( )ln   3            x f   x   xdx   C x   x   .  Câu 10.   (S    GD-    Chí Minh      c  m 6      năm 2017)   Xét     5 3   4  4   3 I   x   x   dx        . B  ng cách   t 4  4   3 u   x       , kh   A. 5 1 4  I   u du       .   B. 5 1 12  I   u du       .   C. 5 1 16  I   u du       .   D. 5  I   u du       .  Câu 11.   (S    GD-    Chí Minh      c  m 6      năm 2017)   Tìm nguyên hàm     F   x   c  a hàm s            2  1   3 x   x  f   x   e   e        A.       3  3 x   x  F   x   e   e   C            .   B.       3 x   x  F   x   e   e   C            .  C.       3 x   x  F   x   e   e   C            .   D.       2  3 x   x  F   x   e   e   C            .  Câu 12.   (S    GD-    Chí Minh      c  m 6      năm 2017)   G  i     F   x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s        cos5   cos f   x   x   x    th  a mãn 0 3  F                 . Tính 6  F                 .

1287 bài tập trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có đáp án trong các đề thi thử môn Toán

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Trần Quốc Nghĩa

HOTBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn   https://facebook.com/duytuan.qna     https://toanhocplus.blogspot.com   Lời nói đầu    Tài liệu gồm 321 trang bao gồm các chủ đề sau: Chủ đề 1. Nguyên hàm Chủ đề 2. Tích Phân Chủ đề 3. Ứng dụng của Tích Phân Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau: 1. Kiến thức cơ bản cần nắm 2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa) 3. Thủ thuật Casio giải nhanh 3. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết)  Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp và liên hệ về tài liệu xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna. Gmail: btdt94@gmail.com. Truy cập Website: https://toanhocplus.blogspot.com/     Xin chân thành cảm ơn!!!  Quảng Nam – 18.05.2018  Tác giả:   Bùi Trần Duy Tuấn

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn

ST& BS: Th.S Đ  ng Vi  t Đông Trư  ng THPT Nho Quan A   Tích Phân và    ng D  ng   : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  M  C L  C  D  NG 1: ÁP D  NG Đ  NH NGH   T NGUYÊN HÀM  D  NG 2: ÁP D  NG Đ  NH NGH   T,   GI  I H    TÍCH PHÂN  D  NG   3 : PHƯƠNG PHÁP Đ  I BI  N  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 1  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 2  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 3  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 4  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 5  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 6  D  NG 4 : PHƯƠNG PHÁP T  NG PH  NST& BS: Th.S Đ  ng Vi  t Đông Trư  ng THPT Nho Quan A   Tích Phân và    ng D  ng   : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  B   P  D  NG 1: ÁP D  NG Đ  NH NGH   T NGUYÊN HÀM  Câu 1:   Cho hàm s        f   x   xác đ  nh trên       \ 1    th  a mãn         1  1  f   x   x           ,       0   2017 f      ,       2   2018 f     . Tính             3   1 S   f   f          .  A .   1 S      .   B .   ln 2 S      .   C .   ln 4035 S      .   D .   4 S      .  Câu 2:   Cho hàm s        f   x   xác đ  nh trên   1  \   2                    th  a mãn         2  2   1  f   x   x           và       0   1 f      . Giá tr    c  a  bi  u th  c             1   3 f   f       b  ng  A .   4   ln15    .   B .   3   ln15    .   C .   2   ln15    .   D .   ln15   .  Câu 3:   Cho hàm s    ( ) f   x   xác đ  nh trên   1  \   2                    th  a mãn   2  ( )   2   1  f   x   x           ,   (0)   1 f      và   (1)   2 f      . Giá  tr    c  a bi  u th  c   ( 1)   (3) f   f       b  ng  A .   4   ln 5    .   B .   2   ln15    .   C .   3   ln15    .   D .   ln15.  Câu 4:   Cho hàm s        f   x   xác đ  nh trên      th  a mãn         2   1 f   x   x          và       1   5 f      . Phương tr         5 f   x      có hai nghi  m   1 x   ,   2 x   . Tính t  ng   2   1   2   2 log   log S   x   x       .  A .   1 S      .   B .   2 S      .   C .   0 S      .   D .   4 S      .  Câu 5:   Cho hàm s    ( ) f   x   xác đ  nh trên   1  \   3                    th  a mãn              3   ,   0   1  3   1  f   x   f  x             và   2   2  3  f                     .  Giá tr    c  a bi  u th  c             1   3 f   f       b  ng  A .   3   5ln 2    .   B .   2   5ln 2       .   C .   4   5ln 2    .   D .   2   5ln 2    .  Câu 6:   Cho hàm s        f   x   xác đ  nh trên       \   2; 2     và th  a mãn             2  4   ;   3   0  4  f   x   f  x                ;       0   1 f     và       3   2 f      . Tính giá tr    bi  u th  c                   4   1   4 P   f   f   f                .  A .   3  3   ln   25  P         .   B .   3   ln 3 P         .   C .   5  2   ln   3  P         .   D .   5  2   ln   3  P         .  Câu 7:   Cho hàm s        f   x   xác đ  nh trên       \   2;1     th  a mãn         2  1  2  f   x   x   x              ;             3   3   0 f   f         và         1  0   3  f      . Giá tr    c  a bi  u th  c                   4   1   4 f   f   f             b  ng  A .   1   1   ln 2  3   3     .   B .   1   ln 80    .   C .   1   4  1   ln 2   ln  3   5        .   D .   1   8  1   ln  3   5     .  Câu 8:   Cho hàm s        f   x   xác đ  nh trên       \   1;1     và th  a mãn         2  1  1  f   x   x           ;             3   3   0 f   f         và   1   1   2  2   2  f   f                                           . Tính giá tr    c  a bi  u th  c             0   4 P   f   f       .  A .   3  2   ln   5  P         .   B .   3  1   ln   5  P         .   C .   1   3  1   ln  2   5  P         .   D .   1   3  ln  2   5  P      .  Câu 9:   Cho hàm s        f   x   xác đ  nh trên       \   1     th  a mãn         2  1  1  f   x   x           . Bi  t             3   3   0 f   f         và   1   1   2  2   2  f   f                                           . Giá tr                    2   0   4 T   f   f   f             b  ng:  A .   1   5  2   ln  2   9  T         .   B .   1   9  1   ln  2   5  T         .   C .   1   9  3   ln  2   5  T         .   D .   1   9  ln  2   5  T      .

Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

   Qu  ng Thu  n      Ba Đồ n      QB   Nguyên hàm   c  a hàm s    lư  ng giác 2020  0  https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn  M  C L  C  Chuû ñeà      NGUYEÂN HAØM cuûa haøm soá Löôïng giaùc  ........................................................... 1  ........1  ........1  1. D  ng 1.            sin   sin  dx I   x   a   x   b            ................................................................................................1  a. Phương pháp tính   .............................................................................................................................................1  b. Chú ý  .................................................................................................................................................................2  c. Ví dụ áp dụng  ....................................................................................................................................................2  2. D  ng 2.            tan   tan I   x   a   x   b dx           ...........................................................................................3  a. Phương pháp tính   .............................................................................................................................................3  b. Chú ý  .................................................................................................................................................................4  c. Ví dụ áp dụng  ....................................................................................................................................................4  3. D  ng 3. sin   cos  dx I   a   x   b   x         ...........................................................................................................6  a. Phương pháp tính   .............................................................................................................................................6  b. Ví dụ áp dụng  ....................................................................................................................................................6  4. D  ng 4. sin   cos  dx I   a   x   b   x   c            ....................................................................................................7  a. Phương pháp tính   .............................................................................................................................................7  b. Ví dụ áp dụ ng  ....................................................................................................................................................7  5. D  ng 5. 2   2  .sin   .sin   cos   .cos  dx I   a   x   b   x   x   c   x            ............................................................................8  a. Phương pháp tính   .............................................................................................................................................8  b. Ví dụ áp dụ ng  ....................................................................................................................................................8  6. D  ng 6. 1   1 2   2  sin   cos sin   cos  a   x   b   x I   dx a   x   b   x          ..................................................................................................9  a. Phương pháp tính   .............................................................................................................................................9  b. Ví dụ áp dụng  ....................................................................................................................................................9  c. Chú ý   ...............................................................................................................................................................10  7. D  ng 7. Bi    nguyên hàm cơ bả n ho  c 6 d  ng      trên ..................................................12  Ví dụ áp dụng  ......................................................................................................................................................12  B  NG NGUYÊN HÀM C  A M  T S    THƯ  NG G  P I .  =I  CÁC D  NG TOÁN II .  =I   Qu  ng Thu  n      Ba Đồ n      QB     i lư  i bi  ng”  1  https://luyenthitracnghiem.vn https://www.facebook.com/vietgold  Chuû         NGUYEÂN HAØM   cuûa haøm soá  Löôïng giaùc  Nguyên hàm c  a hàm s   sơ c  p  Nguyên hàm c  a hàm s   h  p           u   u x   Nguyên hàm c  a hàm s    h  p      ;   0 u   ax   b   a        sin   cos xdx   x   C      sin   cos udu   u   C                 1 sin   cos ax   b dx   ax   b   C a             cos   sin xdx   x   C      cos   sin udu   u   C                 1 cos   sin ax   b dx   ax   b   C a                tan   .   ln cos x dx   x   C      tan .   ln cos u du   u   C                 1 tan   ln cos ax   b dx   ax   b   C a             cot   .   ln sin x dx   x   C      cot   .   ln sin u du   u   C                 1 cot   ln sin ax   b dx   ax   b   C a             2  1   cot sin   dx   x   C x        2  1   cot sin   du   u   C u                   2  1   1 cot sin   dx   ax   b   C a ax   b            2  1   tan cos   dx   x   C x        2  1   tan cos   du   u   C u                   2  1   1 tan cos   dx   ax   b   C a ax   b            1   ln tan sin   2  x dx   C x        1   ln tan sin   2  u du   C u             1 ln   2 sin  dx   ax   b tg   C a ax   b         1   ln tan cos   2   4  x dx   C x                        1   ln tan cos   2   4  u du   C u                             1 ln tan   2   4 cos  dx   ax   b   C a ax   b              1.   Dạng 1.            sin   sin  dx I   x   a   x   b           a. Phương pháp tính  Dùng đồng nhất thức:                                                  sin sin   sin   cos   cos   sin 1   sin   sin   sin  x   a   x   b a   b   x   a   x   b   x   a   x   b a   b   a   b   a   b                                                Từ đó suy ra:                                      sin   cos   cos   sin 1 sin   sin   sin  x   a   x   b   x   a   x   b I   dx a   b   x   a   x   b                           B  NG NGUYÊN HÀM C  A M  T S    THƯ  NG G  P I .  =I  CÁC   D  NG TOÁN II .  =I

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN  Chương 3 Nguyên hàm. Tích phân & Ứng dụng  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  Cho hàm số   y   =   f   ( x )   liên tục trên   K   (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) chứa đoạn   [ a ;   b ] .  1. Công thức định nghĩa của nguyên hàm, tích phân     F ( x )   là 1 nguyên hàm của   f   ( x )   trên   K      F  ( x )   =   f   ( x ) ,    x      K      f   ( x ) d x   =   F ( x )   +   C      F  ( x )   =   f   ( x ) ,    x      K   (với   C   là một hằng số thực bất kỳ).       b a  f   ( x ) d x   =   F ( x )      b a  =   F ( b )      F ( a ) . Từ đây ta có   F ( b )   =   F ( a )   +     b a  f   ( x ) d x .  2. Tích chất của nguyên hàm     Mỗi hàm số   f   ( x )   liên tục trên   K   có vô số nguyên hàm trên   K . Các nguyên hàm đó chỉ sai khác nhau một hằng số   C , nghĩa là nếu   F ( x )   và   G ( x )      f   ( x )  trên   K   thì   F ( x )      G ( x )   =   C ,    x      K .      [   f   ( x )      g ( x )] d x   =    f   ( x ) d x       g ( x ) d x ;      k f   ( x ) d x   =   k    f   ( x ) d x ,    k      R ,   k   6   =   0 .      f    ( x ) d x   =   f   ( x )   +   C ;    (∫  f   ( x ) d x  )   =   f   ( x ) ; (giả sử   f   ( x ) ,   g ( x )   là các hàm số liên tục trên   K )  3. Tích chất của tích phân  Cho các hàm số   f   ( x ) ,   g ( x )   liên tục trên   K   (khoảng, đoạn, nửa khoảng) chứa   a ,   b ,   c . Khi đó       b a  f    ( x )d x   =   f   ( x )      b a  =   f   ( b )      f   ( a ) .       b a  f   ( x ) d x   =     b a  f   ( t ) d t   =     b a  f   ( u ) d u .       b a  [   f   ( x )      g ( x )] d x   =     b a  f   ( x ) d x        b a  g ( x ) d x .       b a  k f   ( x ) d x   =   k     b a  f   ( x ) d x ,    k      R       b a  f   ( x ) d x   =     c a  f   ( x ) d x   +     b c  f   ( x ) d x ,    a ,   b ,   c      K .       a a  f   ( x ) d x   =   0 .       a b  f   ( x ) d x   = −     b a  f   ( x ) d x .     f   ( x )   >   0 ,    x      [ a ;   b ]        b a  f   ( x ) d x   >   0 .     f   ( x )   6   0 ,    x      [ a ;   b ]        b a  f   ( x ) d x   6   0 .    (∫   x a  f   ( t ) d t  )   =   f   ( x ) ,    a      K . 1DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN  GIẢI TÍCH 12   Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG  4. Bảng nguyên hàm của các hàm số thông dụng  Lưu ý : nếu    f   ( x ) d x   =   F ( x )   +   C   thì    f   ( ax   +   b ) d x   =   1  a      F ( ax   +   b )   +   C   ( a   6   =   0) .  Nguyên hàm   Nguyên hàm mở rộng (đổi   x   thành   ax   +   b ,   a   6   =   0 )      d x   =   x   +   C       a   d x   =   ax   +   C      x  d x   =   x  + 1     +   1   +   C ,      6   = − 1       ( ax   +   b )  d x   =   1  a      ( ax   +   b )  + 1     +   1   +   C ,      6   = − 1       1  x 2   d x   = −   1  x   +   C        1 ( ax   +   b ) 2   d x   = −   1  a      1  ax   +   b   +   C       1  p x   d x   =   2 p x   +   C        1  p ax   +   b   d x   =   2  a    ax   +   b   +   C       p x   d x   =   2 3   x p x   +   C        p ax   +   b   d x   =   2 3 a      ( ax   +   b ) p ax   +   b   +   C      e x d x   =   e x   +   C       e ax + b d x   =   1  a      e ax + b   +   C      a x d x   =   a x  ln   a   +   C       a mx + n d x   =   1  m      a mx + n  ln   a   +   C       1  x   d x   =   ln   | x | +   C        1  ax   +   b   d x   =   1  a      ln     ax   +   b     +   C      sin   x d x   = −   cos   x   +   C       sin( ax   +   b )d x   = −   1  a   cos( ax   +   b )   +   C      cos   x d x   =   sin   x   +   C       cos( ax   +   b )d x   =   1  a   sin( ax   +   b )   +   C       1 cos 2   x   d x   =   tan   x   +   C        1 cos 2 ( ax   +   b ) d x   =   1  a      tan( ax   +   b )   +   C       1 sin 2   x   d x   = −   cot   x   +   C        1 sin 2 ( ax   +   b ) d x   = −   1  a      cot( ax   +   b )   +   C  Một số công thức bổ sung để làm bài trắc nghiệm       1  x 2      a 2   d x   =   1 2 a   ln       x      a x   +   a       +   C        1 ( ax   +   b ) ( cx   +   d ) d x   =   1  ad      cb   ln       ax   +   b cx   +   d        +   C      tan 2   x   d x   =   tan   x      x   +   C       cot 2   x   d x   = −   cot   x      x   +   C      tan   x   d x   = −   ln   | cos   x | +   C       cot   x   d x   =   ln   | sin   x | +   C       1 sin   x   d x   =   ln     tan   x  2       +   C        1 cos   x   d x   =   ln     tan  (   x  2   +     4  )∣     +   C       1  x n   d x   = −   1  n      1      1  x n  1   +   C        n  p x   d x   =   n n   +   1      x   n  p x   +   C       1  p a 2      x 2   d x   =   arcsin   x  | a | +   C        1  x 2   +   a 2   d x   =   1  a   arctan   x a   +   C       d x  p x 2   +   a   =   ln     x   +    x 2   +   a       +   C       x 2   +   a   d x   =   x  2    x 2   +   a   +   a  2 ln     x   +    x 2   +   a       +   C     Dương Phước Sang   2      0942.080383

Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Dương Phước Sang

   Ba Đồ n      Qu  ng Bình   TÍCH PHÂN HÀM    N  TH  Y VI  T     0905.193.688   0  https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn    M  C L  C  TÍCH PHÂN HÀM    N ...............................................................................................................................1  D  NG 1: ÁP D  T NGUYÊN HÀM   ............................................1  D  NG 2: ÁP D  T, GI  I H    TÍCH PHÂN   ..............................10  D  NG 3 : TÍCH PHÂN HÀM    N -   PP ĐỔ I BI  N  ..........................................................................12  TÍCH PHÂN HÀM    I BI  N D  NG 1: Ta g  p      bài toán đơn giả n lo  i   ......................................12  TÍCH PHÂN HÀM    I BI  N D  NG 2: Bài t  ng cho      d  ng   ..............................................18  M  T S    CHÚ Ý ĐẶ C S  C V  I TÍCH PHÂN HÀM    I BI  N   ..........................................20  CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ  ............................................................................20  CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.   ......................22  CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau:   ...................................................................................................23  CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc.  ..................................................................................................26  D  NG PH  N .......................................................................................31  BÀI T  P .....................................................................................................................................................46   Ba Đồ n      Qu  ng Bình     i lư  i bi  ng”  1   TH  Y VI  T     0905.193.688  https://luyenthitracnghiem.vn https://www.facebook.com/vietgold  TÍCH PHÂN HÀM    N  DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM  Ví d    1:   Cho         5 2  d   10 f   x   x   . K  t qu                  2 5  2   4   d f   x   x   b  ng  A. 34   .   B. 36   .   C. 40   .   D. 32   .  L  i gi  i  Ch  n A  Tacó                                   2   2   2 5   5   5  2   4   d   2 d   4   d f   x   x   x   f   x   x                              5 5 2 2  2   4   d   2. 5   2   4.10   34 x   f   x   x   .  Ví d    2:   Cho hàm s       f   x   liên t  c trên   và      F x   là nguyên hàm c  a      f   x   , bi  t         9 0  d   9 f   x   x  và       0   3 F   . Tính      9 F   .  A.       9   6 F   .   B.       9   6 F   .   C.       9   12 F   .   D.       9   12 F   .  L  i gi  i  Ch  n C  Ta có:                  9   9 0 0  d I   f   x   x   F x                   9   0   9 F   F          9   12 F   .  Nh  n xét 1:   Trong hai ví d    trên ta th  y tích phân c  n tính có cùng c  n v  i tích phân      gi   thi  t bài toán nên h  c sinh có th    d    dàng nh  n th  y và có th    làm đượ c ngay. Trong m  t s   trườ ng h  p thì h  c sinh c  n ph  i dùng tính ch    bi  i c  n tích phân ho  c ph  n tích phân c  a hàm s    ch  n, hàm s    l  .  Ví d    3:   Cho hàm s       f   x   liên t  n   [0; 6]   th  a mãn         6 0  10 f   x dx   và         4 2  6 f   x dx   . Tính giá tr    c  a bi  u th  c                     2   6 0   4  P   f   x dx   f   x dx   .  A.    4 P   .`   B.    16 P   .   C.    8 P   .   D.    10 P   .  L  i gi  i  Ch  n A  Ta có                                          6   2   4   6 0   0   2   4  f   x dx   f   x dx   f   x dx   f   x dx

Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  CHUYÊN     19 TÍCH PHÂN, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN  MỤC LỤC  Phần A. CÂU HỎI   ............................................................................................................................................. 2  Dạng 1. Tích phân cơ bản ................................................................................................................................... 2  Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải   .......................................................................................................... 2  Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản  ....................................................................................................... 4  Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ  ..................................................................................................................... 7  Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN  ....................................................................................... 10  Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ   ............................................................................... 11  Dạng 4.1 Hàm số tường minh   ....................................................................................................................... 11  Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức   ............................................................................................................. 11  Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác ................................................................................................... 14  Dạng 4.13. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit   ............................................................................................. 16  Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức   ........................................................................................................... 17  Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) .............................................................................................. 18  Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN   ..................................................................................................................... 22  Dạng 5.1 Hàm số tường minh   ....................................................................................................................... 22  Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) .............................................................................................. 25  Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán ............................................................................................. 29  Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác   ...................................................................................................... 31  Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối   .................................................................................. 31  Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức ............................................................................................................. 32  Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ .............................................................................................................. 33  Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác ............................................................................................................ 34  Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO   ................................................................................................................... 38  Dạng 1. Tích phân cơ bản ................................................................................................................................. 38  Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải   ........................................................................................................ 38  Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản  ..................................................................................................... 40  Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ  ................................................................................................................... 43  Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN  ....................................................................................... 46  Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ   ............................................................................... 48  Dạng 4.1. Hàm số tường minh   ...................................................................................................................... 48  Dạng 4.1.1. Hàm số chứa căn thức   ............................................................................................................ 48  Dạng 4.1.2. Hàm số chứa hàm lượng giác .................................................................................................. 54  Dạng 4.1.3. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit   ............................................................................................ 57CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  Dạng 4.1.4. Hàm số hữu tỷ, đa thức   .......................................................................................................... 59  Dạng 4.2. Hàm số không tường minh (hàm ẩn) ............................................................................................. 60  Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN   ..................................................................................................................... 68  Dạng 5.1 Hàm số tường minh   ....................................................................................................................... 68  Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) .............................................................................................. 74  Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán ............................................................................................. 88  Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác   ...................................................................................................... 91  Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối   .................................................................................. 91  Dạng 7.2. Tích phân nhiều công thức  ............................................................................................................ 95  Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ .............................................................................................................. 95  Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác .......................................................................................................... 100  Phần A. CÂU HỎI Dạng 1. Tích phân cơ bản Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải  Câu 1.   (Mã 103 - BGD - 2019) Biết        2 1 d   2 f   x   x       và        2 1 d   6 g   x   x       , khi đó              2 1 d f   x   g   x   x             bằng A.   8   .   B.   4    .   C.   4   .   D.   8    . Câu 2.   (Mã   102   -   BGD   -   2019)   Biết   tích   phân        1 0 3 f   x dx       và        1 0 4 g   x dx       .   Khi                1 0  f   x   g   x   dx             bằng A.   7    .   B.   7   .   C.   1    .   D.   1   . Câu 3.   (Mã đề 104 - BGD - 2019) Biết   1 0   ( )d   2     f   x   x   và   1 0   ( )d   4     g x   x   , khi đó        1 0   ( )   ( ) d     f   x   g x   x   bằng A.   6   .   B.   6    .   C.   2    .   D.   2   . Câu 4.   (Mã đề 101 - BGD - 2019) Biết        1 0 d   2     f   x   x   và        1 0 d   3     g x   x   , khi đó              1 0 d             f   x   g   x   x   bằng A.   1    .   B.   1   .   C.   5    .   D.   5   . Câu 5.   (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho        1 0 d   2 f   x   x       và        1 0 d   5 g   x   x       , khi             1 0 2   d f   x   g   x   x             bằng A.   8    B.   1   C.   3    D.   12 Câu 6.   (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm   f   ,   g   liên tục trên   K   và   a   ,   b   là các số bất kỳ thuộc   K   ?

Các dạng toán tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  CHUYÊN    MỤC LỤC  PHẦN A. CÂU HỎI   ....................................................................................................................................................... 1  Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích   .............................................................................................................. 1  Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện  .................................................................................................... 1  Dạng 1.2 Bài toán có điều kiện   .................................................................................................................................. 13  Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích   .............................................................................................................. 23  Dạng 2.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện  .................................................................................................. 23  Dạng 2.2 Bài toán có điều kiện   .................................................................................................................................. 28  Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động   ...................................................................................... 30  Dạng 3.1 Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quảng đường ................................................................................... 30  Dạng 3.2 Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quảng đường  ..................................................................................... 33  Dạng 4. Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế  .................................................................................... 37  Dạng 4.1 Bài toán liên quan đến diện tích .................................................................................................................. 37  Dạng 4.2 Bài toán liên quan đến thể tích .................................................................................................................... 41  Dạng 5. Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán đại số   ........................................................................... 45  PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO  ........................................................................................................................... 48  Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích   ............................................................................................................ 48  Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện  .................................................................................................. 48  Dạng 1.2 Bài toán có điều kiện   .................................................................................................................................. 60  Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích   .............................................................................................................. 74  Dạng 2.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện  .................................................................................................. 74  Dạng 2.2 Bài toán có điều kiện   .................................................................................................................................. 81  Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động   ...................................................................................... 84  Dạng 3.1 Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quảng đường ................................................................................... 84  Dạng 3.2 Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quảng đường  ..................................................................................... 88  Dạng 4. Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế  .................................................................................... 91  Dạng 4.1 Bài toán liên quan đến diện tích .................................................................................................................. 91  Dạng 4.2 Bài toán liên quan đến thể tích .................................................................................................................... 99  Dạng 5. Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán đại số   ......................................................................... 108  PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích  Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiệnCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  Câu 1.   (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số   (   ) y   f   x    xác định và liên tục trên        ; a b   . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   (   ) y   f   x    , trục hoành và hai đường thẳng , x   a   x   b        A.   (   )   d  b a S   f   x   x       .   B.   (   )   d  b a S   f   x   x       .   C.   (   )   d  b a S   f   x   x       .   D.   (   )   d  a b S   f   x   x       . Câu 2.   (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi   S   là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường   2   x y      , 0 y      ,   0 x      ,   2 x      . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 0 2 d x S   x         B. 2 0 2 d x S   x       C. 2 2 0 2   d x S   x         D. 2 2 0 2   d x S   x      Câu 3.   (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi   S   là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường   e   x y      ,   0 y      , 0 x      ,   2 x      . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 0 e d x S   x       B. 2 0 e d x S   x        C. 2 0 e d x S   x        D. 2 2 0 e   d x S   x       Câu 4.   (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số   (   ) y   f   x    liên tục trên   .    Gọi   S   là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường   (   )   ,   0,   1 y   f   x   y   x          và   5 x      (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1   5 1   1 ( )d   ( )d S   f   x   x   f   x   x             .   B. 1   5 1   1 ( )d   ( )d S   f   x   x   f   x   x             . C. 1   5 1   1 ( )d   ( )d S   f   x   x   f   x   x             .   D. 1   5 1   1 ( )d   ( )d S   f   x   x   f   x   x             . Câu 5.   (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số   (   ) f   x   liên tục trên      . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các    (   )   ,   0,   1,   2 y   f   x   y   x   x             (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.   (   )   (   )  1   2 1   1 dx +   dx S   f   x   f   x            .   B.   (   )   (   )  1   2 1   1 dx   dx S   f   x   f   x             .

Các dạng toán ứng dụng của tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  Nguyễn Minh Tuấn ft Phạm Việt Anh  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌCChương 1 Các dạng toán và phương pháp  1   Các dạng toán cơ bản  Dạng 1  Tính tích phân tổng quát sau  I 1   =    (sin   x ) n dx ;   I 2    (cos   x ) n dx  Phương pháp  Ta chú ý các công thức hạ bậc sau  sin 2 x   = 1      cos 2 x  2   ; cos 2 x   = 1 + cos 2 x  2   ; sin 3 x   =      sin 3 x   + 3 sin   x  4   ; cos 3 x   = cos 3 x   + 3 cos   x  4  Nếu   n   chẵn hoặc   n   = 3   thì ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc triệt để Nếu   n   lẻ và lớn hơn 3 thì ta sẽ sử dụng phép biến đổi sau.  Biến đổi 1.   Ta có  I 1   =    (sin   x ) n dx   =    (sin   x ) 2 p +1 dx   =    (sin   x ) 2 p   sin   xdx   =        ( 1      cos 2 x ) p d   (cos   x ) =        (  C 0  p      C 1  p   cos 2 x   +   . . .   + (  1) k C k p  ( cos 2 x ) k   +   . . .   + (  1) p C p p  ( cos 2 x ) p )  d   (cos   x ) =     (  C 0  p   cos   x      1 3   C 1  p   cos 3 x   +   . . .   + (  1) k  2 k   + 1   C k p   (cos   x ) 2 k +1   +   . . .   + (  1) p  2 p   + 1   C p p   (cos   x ) 2 p +1  )  +   C  Biến đổi 2.   Ta có  I 2   =    (cos   x ) n dx   =    (cos   x ) 2 p +1 dx   =    (cos   x ) 2 p   cos   xdx   =     ( 1      sin 2 x ) p d   (sin   x )  1

Nguyên hàm - tích phân